Question

19．如圖，四邊形ABCD為矩形，PB=20，BC=30，PA⊥平面ABCD．
（1）證明：平面PCD⊥平面PAD；
（2）當AB的長為多少時，面PAB與面PCD所成的二面角為60°？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）推導出AB⊥AD，PA⊥AB，從而AB⊥平面PAD，再由AB∥CD，能證明平面PCD⊥平面PAD．
（2）以A為原點，AP，AB，AD所以直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出當AB的長為1時，面PAB與面PCD所成的二面角為60°．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（1）∵四邊形為矩形，∴AB⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，且PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，
∵四邊形ABCD為矩形，∴AB∥CD，
∴CD⊥平面PAD，
又因為CD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAD．…（6分）
解：（2）如圖，以A為原點，AP，AB，AD所以直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
設AB=a，則A（0，0，0），P（$\sqrt{4-{a}^{2}}$，0，0），B（0，a，0），C（0，a，3），D（0，0，3）
$\overrightarrow{PC}$=（-$\sqrt{4-{a}^{2}}$，a，3），$\overrightarrow{PD}$=（-$\sqrt{4-{a}^{2}}$，0，3），
設平面PCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則由$\overrightarrow{PC}$⊥$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{PD}$⊥$\overrightarrow{n}$得：
-$\sqrt{4-{a}^{2}}$•x+ay+3z=0，-$\sqrt{4-{a}^{2}}$x+3z=0
∴$\overrightarrow{n}$=（3，0，-$\sqrt{4-{a}^{2}}$）
平面PAB的法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）
又面PAB與面PCD所成的二面角為銳二面角，面PAB與面PCD所成的二面角為60°，
∴cos60°=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\sqrt{4-{a}^{2}}}{\sqrt{13-{a}^{2}}}$，即：$\sqrt{13-{a}^{2}}$=2$\sqrt{4-{a}^{2}}$，
解得a=1
∴當AB的長為1時，面PAB與面PCD所成的二面角為60°．…（12分）

點評 本題考查面面垂直的證明，考查滿足二面角為60°的線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．