Question

已知函數(shù)f（x）=axlnx圖象上點(diǎn)（e，f（e））處的切線方程與直線y=2x平行（其中e=2.71828…），g（x）=x²-tx-2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[n，n+2]（n＞0）上的最小值；
（Ⅲ）對(duì)一切x∈（0，e]，3f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)切線方程與直線y=2x平行得到切線的斜率為2，即可得到f'（e）=2，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)把f'（e）=2代入即可求出a的值得到函數(shù)的解析式；
（II）令f′（x）=0求出x的值為

1

e

，由函數(shù)定義域x∈（0，+∞），所以在（0，

1

e

）和（

1

e

，+∞）上討論函數(shù)的增減性，分兩種情況：當(dāng)

1

e

屬于[n，n+2]得到函數(shù)的最小值為f（

1

e

）；當(dāng)

1

e

≤n≤n+2時(shí)，根據(jù)函數(shù)為單調(diào)增得到函數(shù)的最小值為f（n），求出值即可；
（III）把g（x）的解析式代入不等式3f（x）≥g（x）中解出t≥x-3lnx-

2

x

，然后令h（x）=x-3lnx-

2

x

，求出h′（x）=0時(shí)x的值，然后在定義域（0，+∞）上分區(qū)間討論函數(shù)的增減性，求出h（x）的最大值，t要大于等于h（x）的最大值即為不等數(shù)恒成立，即可求出t的取值范圍．

解答：解：（I）由點(diǎn)（e，f（e））處的切線方程與直線2x-y=0平行，
得該切線斜率為2，即f'（e）=2．
又∵f'（x）=a（lnx+1），令a（lne+1）=2，a=1，
所以f（x）=xlnx．

（II）由（I）知f'（x）=lnx+1，
顯然f'（x）=0時(shí)x=e^-1當(dāng)x∈(0，

1

e

)時(shí)f'（x）＜0，
所以函數(shù)f(x)在(0，

1

e

)上單調(diào)遞減．
當(dāng)x∈(

1

e

，+∞)時(shí)f'（x）＞0，
所以函數(shù)f（x）在(

1

e

，+∞)上單調(diào)遞增，
①

1

e

∈[n，n+2]時(shí)，f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

；
②

1

e

≤n＜n+2時(shí)，函數(shù)f（x）在[n，n+2]上單調(diào)遞增，
因此f（x）_min=f（n）=nlnn；
所以f(x)min=

- 1 e ，(0＜n＜ 1 e ) nlnn，(n≥ 1 e )

；

（III）對(duì)一切x∈（0，e]，3f（x）≥g（x）恒成立，
又g（x）=x²-tx-2，
∴3xlnx≥x²-tx-2，
即t≥x-3lnx-

2

x

．
設(shè)h(x)=x-3lnx-

2

x

，x∈(0，e]，
則h′(x)=1-

3

x

+

2

x2

=

x2-3x+2

x2

=

(x-1)(x-2)

x2

，
由h'（x）=0得x=1或x=2，
∴x∈（0，1），h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
x∈（1，2），h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞減，
x∈（2，e），h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
∴h（x）_極大值=h（1）=-1，且h（e）=e-3-2e^-1＜-1，
所以h（x）_max=h（1）=-1．
因?yàn)閷?duì)一切x∈（0，e]，3f（x）≥g（x）恒成立，
∴t≥h（x）_max=-1．
故實(shí)數(shù)t的取值范圍為[-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，掌握不等式恒成立時(shí)所取的條件．此題是一道綜合題．