Question

已知函數(shù)f(x)=4sin2

π+2x

4

 • sinx+(cosx+sinx)(cosx-sinx)．
（1）化簡(jiǎn)f（x）；
（2）已知常數(shù)ω＞0，若函數(shù)y=f（ωx）在區(qū)間[-

π

2

，  

2π

3

]上是增函數(shù)，求ω的取值范圍；
（3）若方程f（x）（sinx-1）+a=0有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的余弦公式和平方差公式整理函數(shù)式，再合并同類(lèi)型，點(diǎn)的三角函數(shù)的最簡(jiǎn)形式．
（2）根據(jù)上一問(wèn)做出的函數(shù)的解析式，代入自變量整理出函數(shù)式，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性先寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)所給的單調(diào)區(qū)間，兩者進(jìn)行比較，得到ω的取值范圍．
（3）原方程可化為2sin²x-sinx+a-1=0，換元令sinx=t，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程2t²-t+a-1=0在[-1，1]內(nèi)有一解或兩解，根據(jù)解的情況寫(xiě)出實(shí)根分布的充要條件，得到結(jié)果．

解答：解：（1）f(x)=2[1-cos(

π

2

+x)] • sinx+cos2x-sin2x=（2+2sinx）sinx+1-2sin²x=2sinx+1（14分）
（2）∵f（ωx）=2sinωx+1
由2kπ-

π

2

≤ωx≤2kπ+

π

2

得

2kπ

ω

-

π

2ω

≤x≤

2kπ

ω

+

π

2ω

，k∈Z
∴f（ωx）的遞增區(qū)間為[

2kπ

ω

-

π

2ω

，  

2kπ

ω

+

π

2ω

]，k∈Z
∵f（ωx）在[-

π

2

，  

2π

3

]上是增函數(shù)
∴當(dāng)k=0時(shí)，有[-

π

2

，  

2π

3

]⊆[-

π

2ω

，  

π

2ω

]
∴

ω＞0 - π 2ω ≤- π 2 π 2ω ≥ 2π 3

解得  0＜ω≤

3

4

∴ω的取值范圍是(0，  

3

4

]（8分）
（3）解一：方程f（x）（sinx-1）+a=0即為（2sinx+1）（sinx-1）+a=0從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程a=-2sin²x+sinx+1有解，只需a在函數(shù)y=-2sin²x+sinx+1的值域范圍內(nèi)
∵y=-2sin2x+sinx+1=-2(sinx-

1

4

)2+

9

8

當(dāng)sinx=

1

4

時(shí)，ymax=

9

8

；
當(dāng)sinx=-1時(shí)，y_min=-2
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-2，  

9

8

]（12分）
解二：原方程可化為2sin²x-sinx+a-1=0
令sinx=t，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程2t²-t+a-1=0在[-1，1]內(nèi)有一解或兩解，
設(shè)g（t）=2t²-t+a-1，若方程在[-1，1]內(nèi)有一個(gè)解，則g(-1)g(1)＜0 或 

g(-1)=0 g(1)＜0

或 

g(1)=0 g(-1)＜0

解得-2≤a＜0
若方程在[-1，1]內(nèi)有兩個(gè)解，則

△=(-1)2-8(a-1)≥0 -1≤ 1 4 ≤1 g(-1)≥0 g(1)≥0

解得0≤a≤

9

8

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-2，

9

8

]

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值及一元二次方程的實(shí)根分布，本題解題的關(guān)鍵是整理出三角函數(shù)的解析式，熟練應(yīng)用三角函數(shù)的公式來(lái)解題，本題是一個(gè)中檔題目．