已知周期為4的函數(shù)f（x）=
2
1-x2
1-|x-2|
(-1＜x≤1) 
(1＜x≤3) 
．
（1）試確定方程f（x）-
x
3
=0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)
（2）求f（x）在R上的解析式．
分析：（1）本題即求函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=
x
3
的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在同一個(gè)坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)y=f（x）與直線y=
x
3
的圖象，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)論．
（2）當(dāng)x∈（4k-1，4k+1]，k∈z，則x-4k∈（-1，1]，由此可得此時(shí)f（x）的解析式．當(dāng)x∈（4k+1，4k+3]，k∈z，則x-4k∈（1，3]，由此可得f（x）的解析式，綜合可得結(jié)論．
解答：解：（1）方程f（x）-
x
3
=0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)，
即函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=
x
3
的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
在同一個(gè)坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)y=f（x）與直線y=
x
3
的圖象，
數(shù)形結(jié)合可得，函數(shù)y=f（x）與直線y=
x
3
的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3．
（2）當(dāng)x∈（4k-1，4k+1]，k∈z，則x-4k∈（-1，1]，
f（x）=f（x-4k）=2
1-(x-4k)2
．
當(dāng)x∈（4k+1，4k+3]，k∈z，則x-4k∈（1，3]，
f（x）=f（x-4k）=1-|x-4k-2|，
∴f（x）=
2
1-(x-4k)2
 ，x∈(4k-1 ，4k+1] ，k∈z
1-|x-4k-2| ，x∈(4k+1 ，4k+3] ，k∈z
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y滿足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f(0)=0，f(
π
2
)=1．給出下列結(jié)論：f(
π
4
)=
1
2
；②f（x）為奇函數(shù)；③f（x）為周期函數(shù)；④f（x）在（0，x）內(nèi)單調(diào)遞減．其中正確的結(jié)論序號(hào)是（　�。�
A、②③B、②④C、①③D、①④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f （x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y滿足f（x+y）+f（x-y）=2f （x）cosy，且f（0）=0，f（
π
2
）=1．給出下列結(jié)論：
①f（
π
4
）=
1
2

②f（x）為奇函數(shù)  
③f（x）為周期函數(shù)  
④f（x）在（0，π）內(nèi)為單調(diào)函數(shù)
其中正確的結(jié)論是
 
．（ 填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y滿足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f（0）=0，f（
π
2
）=1．給出下列結(jié)論：其中，正確的結(jié)論序號(hào)是
②③
②③
．
①f(
π
4
)=
1
2
                     
②f（x）為奇函數(shù)
③f（x）為周期函數(shù)              
④f（x）在（0，π）內(nèi)單調(diào)遞減．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y滿足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f(0)=0，f(
π
2
)=1．
（1）求f(
π
4
)及f(
3π
2
)的值；
（2）求證：f（x）為奇函數(shù)且是周期函數(shù)．

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