Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）對任意實(shí)數(shù)x、y滿足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f（0）=0，f（

π

2

）=1．給出下列結(jié)論：其中，正確的結(jié)論序號(hào)是

②③

．
①f(

π

4

)=

1

2

                     
②f（x）為奇函數(shù)
③f（x）為周期函數(shù)              
④f（x）在（0，π）內(nèi)單調(diào)遞減．

Answer 1

分析：通過給題中恒成立的等式賦值，對于①，給x，y都賦值

π

4

判斷出錯(cuò)誤；對于②，給x賦值0判斷出正確；對于③給x賦值

π

2

判斷出正確；對于④通過舉反例判斷出錯(cuò)誤．

解答：解：對于①令x=y=

π

4

，得f（

π

2

）+f（0）=2f（

π

4

）cos

π

4

，所以f（

π

4

）=

2

2

，故①錯(cuò)誤；
對于②令x=0，得f（y）+f（-y）=2f（0）cosy，即f（y）+f（-y）=0，故f（x）為奇函數(shù)，故②正確；
對于③，令y=

π

2

得f（x+

π

2

）+f（x-

π

2

）=0，所以f（x+

π

2

）=-f（x-

π

2

），
∴f（x+

3π

2

）=-f（x+

π

2

），
∴f（x+

3π

2

）=f（x-

π

2

），
∴f（x）的周期為T=2π，故③正確；
對于④，由②③知，例如f（x）=sinx，滿足但在（0，π）不是單調(diào)遞減函數(shù)，故④錯(cuò)誤．
故答案為：②③

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)的有關(guān)問題，通過給恒等式中的未知數(shù)賦值求函數(shù)值、求函數(shù)的性質(zhì)，該知識(shí)點(diǎn)經(jīng)常是考查的重點(diǎn)，屬于中檔題．