Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC．AB=AC=l，∠BAC=120°，異面直線B₁C與A₁C₁所成的角為60°．
（I）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積：
（II）求二面角B₁-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析：（I）設(shè)AA₁=a，以A為原點，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．分別得出A、B、C、A₁、B₁、C₁、的坐標(biāo)，從而得到

B1C

=（-

3

2

，

3

2

，-a），

A1C1

=（0，1，0），因為B₁C與A₁C₁所成的角為60°，利用空間兩個向量夾角公式列出關(guān)于a的方程，解出a=

6

，由此不難得到三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積；
（II）利用數(shù)量積為零的方法列方程組，從而解出平面ACB₁的一個法向量

n

=（-2

2

，0，1）．而

m

=（0，0，1）為面ACB的一個法向量，計算出向量

m

、

n

的夾角余弦值，即可得到二面角B₁-AC-B的余弦值為

1

3

．

解答：解：（Ⅰ）如圖，以A為原點，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)AA₁=a（a＞0），依題意得
B₁（

3

2

，-

1

2

，a），A（0，0，0），C（0，1，0）．
∴

B1C

=（-

3

2

，

3

2

，-a），

A1C1

=

AC

=（0，1，0），
由異面直線B₁C與A₁C₁所成的角為60°，得
|cos＜

B1C

，

A1C1

＞|=

| B1C • A1C1 |

| B1C |•| A1C1 |

=

3

2 3+a2

=

1

2

，
解之得a=

6

．…（4分）
所以三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為：
V=S_△ABC•AA₁=

1

2

AB•ACsin120°•AA₁=

1

2

×1×1×

3

2

×

6

=

3 2

4

．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

B1C

=（-

3

2

，

3

2

，-

6

）．
設(shè)

n

=（x，y，z）為面ACB₁的一個法向量，則

n

•

AC

=0，

n

•

B1C

=0，
可得：

y=0 - 3 2 x+ 3 2 y- 6 z=0

取z=1，得x=-2

2

，于是

n

=（-2

2

，0，1）．…（9分）
又∵

m

=（0，0，1）為面ACB的一個法向量，
∴cos＜

m

，

n

＞=

m•n

|m||n|

=

1

3

，即為平面ACB與平面ACB₁所成角的余弦值．
因此，二面角B₁-AC-B的余弦值為

1

3

．…（12分）

點評：本題在直三棱柱中，根據(jù)異面直線所成角求棱柱的體積，并求二面角的余弦值，著重考查了利用空間向量研究異面直線所成角和二面的平面角等知識，屬于中檔題．