Question

【題目】已知函數(shù) f（x）=sin2x+ sinxcosx+ ，x∈R，
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期T及在[﹣π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）+k=0，在區(qū)間[0， ]上且只有一個實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知 ，

= ，

=

∴

又因為 ，

∴ ．

當k=0時 ；

當k=﹣1時 ，

∴函數(shù)f（x）在[﹣π，π]的單調(diào)遞減區(qū)間為 ，

（2）解：由 ，

所以 ，

∴ ，

f（x）+k=0在區(qū)間 上有且只有一個實數(shù)解，

即函數(shù) 與y=﹣k﹣2在區(qū)間 上有且只有一個交點，

由函數(shù)的圖象可知 ﹣k﹣2=1

∴

【解析】（1）由二倍角公式及輔助角公式將f（x）化簡，由f（x）的最小正周期T= = ，即可求得f（x）的最小正周期，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求得[﹣π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由 ，求得 ，則f（x）+k=0在區(qū)間 上有且只有一個實數(shù)解，由函數(shù)圖象即可求得實數(shù)k的取值范圍．