Question

已知函數(shù)f(x)=a^x+(a＞1),

(1)求證:f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù);

(2)求證當(dāng)a=3時(shí)，f(x)=a^x+在（0，1）內(nèi)必有零點(diǎn)；

(3)若a=3,求方程f(x)=0的正根.(精確到0.01)

Answer 1

解析：（1）可設(shè)g(x)=a^x,h(x)=，

    由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：

    當(dāng)a＞1時(shí)，y=a^x在（-1，+∞）上單調(diào)遞增.

    下面證明h(x)=在（-1，+∞）上單調(diào)遞增.設(shè)x₁、x₂∈(-1,+∞)且x₁＜x₂，

    則h(x₁)-h(x₂)=-=-=.

    ∵-1＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁+1＞0,x₂+1＞0，

    ∴h(x₁)＜h(x₂),

    ∴h(x)在（-1，+∞）上單調(diào)遞增.

    ∴f(x)=g(x)+h(x)在（-1，+∞）上單調(diào)遞增.

    （2）由（1）可知：函數(shù)f(x)在（-1，+∞）上是增函數(shù).

    又f(0)=3⁰-2=-1＜0,f(1)=3¹-=＞0,即f(0)·f(1)＜0，說明函數(shù)f(x)在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)，且只有一個(gè).

    （3）由二分法可求得，

    當(dāng)a=3時(shí)，f(x)=0的正根為0.28.