Question

某種產(chǎn)品每件成本為6元，每件售價(jià)為x元（x＞6），年銷量為u萬件，若已知與成正比，且售價(jià)為10元時(shí)，年銷量為28萬件．

（1）求年銷售利潤(rùn)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

（2）求售價(jià)為多少時(shí)，年利潤(rùn)最大，并求出最大年利潤(rùn)．

 

Answer 1

（1）y=﹣2x3+33x2﹣108x﹣108．

（2）售價(jià)為9元時(shí)，年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)為135萬元．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題中條件：“若已知與成正比”可設(shè)，再依據(jù)售價(jià)為10元時(shí)，年銷量為28萬件求得k值，從而得出年銷售利潤(rùn)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，先求出y的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)y′＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，y′＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，從而求出極值進(jìn)而得出最值即可．

【解析】
（1）設(shè)，

∵售價(jià)為10元時(shí)，年銷量為28萬件；

∴，解得k=2．

∴=﹣2x2+21x+18．

∴y=（﹣2x2+21x+18）（x﹣6）=﹣2x3+33x2﹣108x﹣108．

（2）y'=﹣6x2+66x﹣108=﹣6（x2﹣11x+18）=﹣6（x﹣2）（x﹣9）

令y'=0得x=2（∵x＞6，舍去）或x=9

顯然，當(dāng)x∈（6，9）時(shí)，y'＞0當(dāng)x∈（9，+∞）時(shí)，y'＜0

∴函數(shù)y=﹣2x3+33x2﹣108x﹣108在（6，9）上是關(guān)于x的增函數(shù)；

在（9，+∞）上是關(guān)于x的減函數(shù)．

∴當(dāng)x=9時(shí)，y取最大值，且ymax=135．

∴售價(jià)為9元時(shí)，年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)為135萬元．