Question

18．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2x+1}{{x}^{2}}，x＜-\frac{1}{2}}\\{x+1，x≥-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，g（x）=x²-4x-4，若存在實數a使得f（a）+g（b）=0，則實數b的取值范圍是[-1，5]．

Answer 1

分析 利用導數求出函數的值域，進而根據存在a∈R使得f（a）+g（b）=0，得到g（b）=b²-4b-4≤1，解不等式可得實數b的取值范圍．

解答 解：當x＜-$\frac{1}{2}$時，f（x）=$\frac{2x+1}{{x}^{2}}$=$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴f′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$=-$\frac{2（x+1）}{{x}^{3}}$，
當f′（x）＞0時，即-1＜x＜-$\frac{1}{2}$，函數單調遞增，
當f′（x）＜0時，即x＜-1，函數單調遞減，
∴f（x）_min=f（-1）=-1，
當x=-$\frac{1}{2}$時，f（-$\frac{1}{2}$）=0，
或x→-∞時，f（x）→0，
當x≥-$\frac{1}{2}$時，函數f（x）在[-$\frac{1}{2}$，+∞）為增函數，
∴f（x）_min=f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$
∴f（x）的值域為[-1，0）∪[$\frac{1}{2}$，+∞），
若存在a∈R使得f（a）+g（b）=0，
則g（b）=b²-4b-4≤1，
即b²-4b-5≤0，
解得b∈[-1，5]，
故答案為：[-1，5]

點評 本題考查的知識點是分段函數，函數的值域，存在性問題，二次不等式，是函數和不等式較為綜合的應用，難度中檔．