Question

已知函數(shù)f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期為π，圖象的一個對稱中心為（，0），將函數(shù)f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象．
（1）求函數(shù)f（x）與g（x）的解析式
（2）是否存在x∈（），使得f（x），g（x），f（x）g（x）按照某種順序成等差數(shù)列？若存在，請確定x的個數(shù)，若不存在，說明理由；
（3）求實數(shù)a與正整數(shù)n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）內(nèi)恰有2013個零點．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意，可求得ω=2，φ=，利用三角函數(shù)的圖象變換可求得g（x）=sinx；
（2）依題意，當x∈（，）時，＜sinx＜，0＜cosx＜⇒sinx＞cos2x＞sinxcos2x，問題轉(zhuǎn)化為方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（，）內(nèi)是否有解．通過G′（x）＞0，可知G（x）在（，）內(nèi)單調(diào)遞增，而G（）＜0，G（）＞0，從而可得答案；
（3）依題意，F(xiàn)（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，方程F（x）=0等價于關(guān)于x的方程a=-，x≠kπ（k∈Z）．問題轉(zhuǎn)化為研究直線y=a與曲線y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交點情況．通過其導數(shù)，列表分析即可求得答案．
解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期為π，
∴ω==2，
又曲線y=f（x）的一個對稱中心為，φ∈（0，π），
故f（）=sin（2×+φ）=0，得φ=，所以f（x）=cos2x．
將函數(shù)f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）后可得y=cosx的圖象，
再將y=cosx的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g（x）=cos（x-）的圖象，
∴g（x）=sinx．
（2）當x∈（，）時，＜sinx＜，0＜cosx＜，
∴sinx＞cos2x＞sinxcos2x，
問題轉(zhuǎn)化為方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（，）內(nèi)是否有解．
設(shè)G（x）=sinx+sinxcos2x-cos2x，x∈（，），
則G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2-sinx），
∵x∈（，），
∴G′（x）＞0，G（x）在（，）內(nèi)單調(diào)遞增，
又G（）=-＜0，G（）=＞0，且G（x）的圖象連續(xù)不斷，故可知函數(shù)G（x）在（，）內(nèi)存在唯一零點x，即存在唯一零點x∈（，）滿足題意．
（3）依題意，F(xiàn)（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，
當sinx=0，即x=kπ（k∈Z）時，cos2x=1，從而x=kπ（k∈Z）不是方程F（x）=0的解，
∴方程F（x）=0等價于關(guān)于x的方程a=-，x≠kπ（k∈Z）．
現(xiàn)研究x∈（0，π）∪（π，2π）時方程a=-的解的情況．
令h（x）=-，x∈（0，π）∪（π，2π），
則問題轉(zhuǎn)化為研究直線y=a與曲線y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交點情況．
h′（x）=，令h′（x）=0，得x=或x=，
當x變換時，h′（x），h（x）的變化情況如下表：

x	（0，）		（，π）	（π，）		（，2π）
h′（x）	+		-	-		+
h（x）	↗	1	↘	↘	-1	↗

當x＞0且x趨近于0時，h（x）趨向于-∞，
當x＜π且x趨近于π時，h（x）趨向于-∞，
當x＞π且x趨近于π時，h（x）趨向于+∞，
當x＜2π且x趨近于2π時，h（x）趨向于+∞，
故當a＞1時，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，π）內(nèi)無交點，在（π，2π）內(nèi)有2個交點；
當a＜-1時，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，π）內(nèi)有2個交點，在（π，2π）內(nèi)無交點；
當-1＜a＜1時，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，π）內(nèi)有2個交點，在（π，2π）內(nèi)有2個交點；
由函數(shù)h（x）的周期性，可知當a≠±1時，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，nπ）內(nèi)總有偶數(shù)個交點，從而不存在正整數(shù)n，使得直線y=a與曲線y=h（x）在（0，nπ）內(nèi)恰有2013個零點；
又當a=1或a=-1時，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，π）∪（π，2π）內(nèi)有3個交點，由周期性，2013=3×671，
∴依題意得n=671×2=1342．
綜上，當a=1，n=1342，或a=-1，n=1342時，函數(shù)F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）內(nèi)恰有2013個零點．
點評：本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系，三角恒等變換，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)、函數(shù)的導數(shù)、函數(shù)的零點、不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，抽象概括能力，推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．