Question

某汽車廠有一條價值為a萬元的汽車生產(chǎn)線，現(xiàn)要通過技術(shù)改造來提高該生產(chǎn)線的生產(chǎn)能力，提高產(chǎn)品的增加值，經(jīng)過市場調(diào)查，產(chǎn)品的增加值y萬元與技術(shù)改造投入x萬元之間滿足：①y與（a-x）•x²成正比；②當(dāng)x=

a

2

時，y=a³，并且技術(shù)改造投入滿足

x

2(a-x)

∈(0，t]，其中t為常數(shù)且t∈（1，2]．則函數(shù)y=f（x）表達(dá)式為

f（x）=8（a-x）x²

，定義域

(0，

2at

2t+1

]

．

Answer 1

分析：根據(jù)條件：①y與（a-x）•x²成正比，可設(shè)正比例函數(shù)y=k（a-x）•x²；由當(dāng)x=

a

2

時，y=a³，可求k=8，從而得到函數(shù)的解析式，利用

x

2(a-x)

∈(0，t]，可求函數(shù)的定義域．

解答：解：由題意，設(shè)y=k（a-x）•x²
∵當(dāng)x=

a

2

時，y=a³，∴k=8，∴y=8（a-x）•x²
∵

x

2(a-x)

∈(0，t]，∴x∈(0，

2at

2t+1

]
故答案為f（x）=8（a-x）x²； (0，

2at

2t+1

]．

點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型，主要考查函數(shù)模型的構(gòu)建，關(guān)鍵是假設(shè)正比例函數(shù)，利用待定系數(shù)法求解析式，應(yīng)注意實(shí)際問題的意義，確定函數(shù)的定義域．