Question

某汽車廠有一條價(jià)值為a萬元的汽車生產(chǎn)線，現(xiàn)要通過技術(shù)改造來提高該生產(chǎn)線的生產(chǎn)能力，提高產(chǎn)品的增加值，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查，產(chǎn)品的增加值y萬元與技術(shù)改造投入x萬元之間滿足：①y與（a-x）•x²成正比；②當(dāng)x=時(shí)，y=a³，并且技術(shù)改造投入滿足∈（0，t]，其中t為常數(shù)且t∈（1，2]．
（1）求y=f（x）表達(dá)式及定義域；
（2）求出產(chǎn)品增加值的最大值及相應(yīng)x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出函數(shù)解析式，利用當(dāng)x=時(shí)，y=a³，并且技術(shù)改造投入滿足∈（0，t]，即可確定函數(shù)解析式與定義域；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出產(chǎn)品增加值的最大值及相應(yīng)x的值．
解答：解：（1）由題意，設(shè)y=f（x）=k（a-x）•x²
∵當(dāng)x=時(shí)，y=a³，∴k=8，∴f（x）=8（a-x）•x²
∵∈（0，t]，∴x∈（0，]；
（2）
令f^′（x）=0，∴
當(dāng)t∈（1，2]時(shí)，，
∴，f′（x）＞0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；x∈，f′（x）＜0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴…（10分）
綜上1≤t≤2時(shí)，投入萬元最大增加值萬元 …（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型，主要考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．