Question

已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，a_n=S_n-1+2（n≥2），a₁=2．
（1）證明{a_n}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）已知T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n=S_n-1+2可得a_n+1=S_n+2，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n+1-a_n=S_n-S_n-1=a_n，結(jié)合=2a₁可得a_n+1=2a_n對(duì)應(yīng)任意的n≥1都成立；
（2）由T_n=1×2+2×4+3×8+…+n•2ⁿ考慮利用錯(cuò)位相減可求答案．

解答：解：（1）∵a_n=S_n-1+2（n≥2）
∴a_n+1=S_n+2
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n+1-a_n=S_n-S_n-1=a_n
∴a_n+1=2a_n
∵a₂=S₁+2=4=2a₁
∴a_n+1=2a_n對(duì)應(yīng)任意的n≥1都成立
∴數(shù)列為等比數(shù)列首項(xiàng)為2公比為2，a_n=2ⁿ
（2）∵T_n=a₁+2a₂+…+na_n
∴T_n=1×2+2×4+3×8+…+n•2ⁿ
∴2T_n=1×4+2×8+…+n•2ⁿ⁺¹
兩式相減可得，-T_n=2+4+8+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1
∴T_n=（n-2）•2ⁿ⁺¹+2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了由數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的定義在證明等比 數(shù)列中的應(yīng)用，解答本題的難點(diǎn)在與錯(cuò)誤相減求數(shù)列的和．