精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，其右焦點(diǎn)F是圓（x-1）2+y2=1的圓心．
（1）求橢圓方程；
（2）過所求橢圓上的動點(diǎn)P作圓的兩條切線分別交y軸于M（0，m），N（0，n）兩點(diǎn)，當(dāng)|m-n|=2
2
-1
時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
分析：（1）先利用圓心坐標(biāo)求出焦點(diǎn)坐標(biāo)以及c值，再利用離心率求出a，即可求出橢圓方程．
（2）先利用條件求出直線PM的方程，再利用直線PM與圓相切求出m與點(diǎn)P坐標(biāo)之間的關(guān)系，同樣求出n與點(diǎn)P坐標(biāo)之間的關(guān)系，再把所求代入已知并利用點(diǎn)P在橢圓上，可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）因?yàn)閳A（x-1）2+y2=1的圓心是（1，0），
所以橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F（1，0），
∴橢圓的離心率是
2
2
，
∴
c
a
=
2
2

∴a2=2，b2=1，所以橢圓方程為
x2
2
+y2=1．（4分）
（2）設(shè)P（x0，y0），
由
x2
2
+y2=1
(x-1)2+y2=1
，
得x=2-
2
或x=2+
2
（舍），
∴x0∈[-
2
，0)∪(0，2-
2
)．（5分）
直線PM的方程：y-m=
y0-m
x0
x，
化簡得（y0-m）x-x0y+x0m=0．
又圓心F（1，0）到直線PM的距離為1，
∴
|y0-m+x0m|
(y0-m)2+x02
=1
∴（y0-m）2+x02=（y0-m）2+2x0m（y0-m）+x02m2
化簡得：（x0-2）m2+2y0m-x0=0，（7分）
同理：（x0-2）n2+2y0n-x0=0m+n=-
2y0
x0-2
，m•n=
-x0
x0-2
（9分）
∴|m-n|=
(m-n)2
=
(m+n)2-4mn
=
4x02+4y02-8x0
(x0-2)2

∵P（x0，y0）在橢圓上∴
x02
2
+y02=1
∴|m-n|=
2-
4
(x0-2)2
=2
2
-1
，（11分）
∴2-
4
(x0-2)2
=4(
2
-1)，∴x0=4+
2
（舍）或x0=-
2
∴P(-
2
，0)
所以，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(-
2
，0)．（12分）．
點(diǎn)評：本題的易錯(cuò)點(diǎn)在與忘記看點(diǎn)P所在位置，而把兩個(gè)結(jié)果都要．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(diǎn)C(
3
2
，
3
2
)且離心率為
6
3
，A、B是長軸的左右兩頂點(diǎn)，P為橢圓上意一點(diǎn)（除A，B外），PD⊥x軸于D，若
PQ
=λ
QD
，λ∈(-1，0)．
（1）試求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）P在C處時(shí)，若∠QAB=2∠PAB，試求過Q、A、D三點(diǎn)的圓的方程；
（3）若直線QB與AP交于點(diǎn)H，問是否存在λ，使得線段OH的長為定值，若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•汕頭一模）如圖．已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的長軸為AB，過點(diǎn)B的直線l與x軸垂直，橢圓的離心率e=
3
2
，F(xiàn)1為橢圓的左焦點(diǎn)且
AF1
•
F1B
=1．
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，PH⊥x軸，H為垂足，延長HP到點(diǎn)Q使得HP=PQ．連接AQ并延長交直線l于點(diǎn)M，N為MB的中點(diǎn)，判定直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，B為橢圓的上頂點(diǎn)且△BF1F2的周長為4+2
3
．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在這樣的直線使得直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，且橢圓右焦點(diǎn)F2恰為△BMN的垂心？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明由..

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•崇明縣二模）如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），M為橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A、B分別為橢圓的一個(gè)長軸端點(diǎn)與短軸的端點(diǎn)．當(dāng)MF2⊥F1F2時(shí)，原點(diǎn)O到直線MF1的距離為
1
3
|OF1|．
（1）求a，b滿足的關(guān)系式；
（2）當(dāng)點(diǎn)M在橢圓上變化時(shí)，求證：∠F1MF2的最大值為
π
2
；
（3）設(shè)圓x2+y2=r2（0＜r＜b），G是圓上任意一點(diǎn)，過G作圓的切線交橢圓于Q1，Q2兩點(diǎn)，當(dāng)OQ1⊥OQ2時(shí)，求r的值．（用b表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(diǎn)(1，
2
2
)，離心率為
2
2
，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2．點(diǎn)P為直線l：x+y=2上且不在x軸上的任意一點(diǎn)，直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2．
（Ⅰ）證明：
1
k1
-
3
k2
=2；
（Ⅱ）問直線l上是否存在點(diǎn)P，使得直線OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD滿足kOA+kOB+kOC+kOD=0？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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同步練習(xí)冊答案