Question

【題目】解答
（1）求證：函數(shù)y=x+ 有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a＞0，那么該函數(shù)在（0， ]上是減函數(shù)，在[ ，+∞）上是增函數(shù)．
（2）若f（x）= ，x∈[0，1]，利用上述性質(zhì)，求函數(shù)f（x）的值域；
（3）對(duì)于（2）中的函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）=﹣x﹣2a，若對(duì)任意x1∈[0，1]，總存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1），求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設(shè) ，任取x1，x2∈（0， ]且x1＜x2， ，

顯然，x1﹣x2＜0，x1x2＞0，x1x2﹣a＜0，∴h（x1）﹣h（x2）＞0，即該函數(shù)在∈（0， ]上是減函數(shù)；

同理，對(duì)任意x1，x2∈[ ，+∞）且x1＜x2，h（x1）﹣h（x2）＜0，即該函數(shù)在[ ，+∞）上是增函數(shù)

（2）解： ，設(shè)u=2x+1，x∈[0，1]，1≤u≤3，

則 ，u∈[1，3]．

由已知性質(zhì)得，當(dāng)1≤u≤2，即 時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，所以減區(qū)間為 ；

同理可得增區(qū)間為 ；

由f（0）=﹣3， ， ，得f（x）的值域?yàn)閇﹣4，﹣3]

（3）解：g（x）=﹣x﹣2a為減函數(shù)，故g（x）∈[﹣1﹣2a，﹣2a]，x∈[0，1]．

由題意，f（x）的值域是g（x）的值域的子集，∴ ，

∴ ．

【解析】（1）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義，直接證明即可．（2）轉(zhuǎn)化函數(shù)的表達(dá)式為（1）的函數(shù)的形式，然后求解函數(shù)的值域即可．（3）利用函數(shù)的值域以及子集關(guān)系，列出不等式組求解即可．