【題目】設函數(shù),其中.
(Ⅰ)當時,求曲線在處的切線方程;
(Ⅱ)討論的極值點的個數(shù);
(Ⅲ)若在y軸右側的圖象都不在x軸下方,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)答案不唯一,具體見解析(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)當時,求出函數(shù)的導函數(shù),再求出在處的切線的斜率,最后利用點斜式求出切線方程;
(Ⅱ)求函數(shù)的導函數(shù),通過換元法,導函數(shù)的解析式是二次項系數(shù)不確定的多項式函數(shù),根據(jù)二次項系數(shù)等于零、大于零、小于零,結合一元二次方程根的判別式,分類討論求出函數(shù)的極值點的個數(shù);
(Ⅲ)由題設可知,.因此有當時,,
根據(jù)(Ⅱ)可知函數(shù)的單調(diào)性進行分類討論;
①當時,利用函數(shù)的單調(diào)性可以證明出成立.
②當時,利用根與系數(shù)關系,和函數(shù)的單調(diào)性可以得到.
③當時,利用放縮法、構造新函數(shù),可以證明當時,不恒成立,最后確定a的取值范圍.
解:(Ⅰ)當時,,,
所以,.
曲線在處的切線方程為,即.
(Ⅱ)由已知可得,
設,則,記,
(1)時,,函數(shù)在R上為增函數(shù),沒有極值點.
(2)當時,判別式,
①若時,,,函數(shù)在R上為增函數(shù),沒有極值點.
②若時,,由,拋物線的對稱軸為,
可知的零點均為正數(shù).
不妨設的兩個不等正實數(shù)根為,且,
則,
所以當,,單調(diào)遞增,
當,,單調(diào)遞減,
當,,單調(diào)遞增,
此時函數(shù)有兩個極值點.
(3)若時,由,
可知的兩個不相等的實數(shù)根,且,
當,,單調(diào)遞增,
當,,單調(diào)遞減,
此時函數(shù)只有一個極值點.
綜上:當時無極值點;
當時有一個極值點;
當時有兩個極值點.
(Ⅲ)由題設可知,.
時,,
由(Ⅱ)知:
①當時,函數(shù)在R上為增函數(shù),
,所以成立;
②當時,,,所以,
當時單調(diào)遞增,又,
所以,,等價于,即.
所以只需,即.
所以,當時,也滿足,;
③當時,
,
考察函數(shù),
顯然存在,使得,
即存在,使得,不滿足,
綜上所述,a的取值范圍是
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【題目】己知橢圓上任意一點到其兩個焦點,的距離之和等于,焦距為2c,圓,,是橢圓的左、右頂點,AB是圓O的任意一條直徑,四邊形面積的最大值為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,若直線與圓O相切,且與橢圓相交于M,N兩點,直線與平行且與橢圓相切于P(O,P兩點位于的同側),求直線,距離d的取值范圍.
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且.
(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,求二面角A-PB-C的余弦值.
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【題目】下列有四個關于命題的判斷,其中正確的是()
A.命題“,”是假命題
B.命題“若,則或”是真命題
C.命題“,”的否定是“,”
D.命題“在中,若,則是鈍角三角形”是真命題
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【題目】如圖,從參加環(huán)保知識競賽的學生中抽出名,將其成績(均為整數(shù))整理后畫出的頻率分布直方圖如下:觀察圖形,回答下列問題:
(1)這一組的頻數(shù)、頻率分別是多少?
(2)估計這次環(huán)保知識競賽成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)。(不要求寫過程)
(3) 從成績是80分以上(包括80分)的學生中選兩人,求他們在同一分數(shù)段的概率.
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【題目】假設某種人壽保險規(guī)定,投保人沒活過65歲,保險公司要賠償10萬元;若投保人活過65歲,則保險公司不賠償,但要給投保人一次性支付4萬元已知購買此種人壽保險的每個投保人能活過65歲的概率都為,隨機抽取4個投保人,設其中活過65歲的人數(shù)為,保險公司支出給這4人的總金額為萬元(參考數(shù)據(jù):)
(1)指出X服從的分布并寫出與的關系;
(2)求.(結果保留3位小數(shù))
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