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已知數列的前項的和為， ，求證：數列為等差數列的充要條件是．
詳見解析．

試題分析：從兩個方面來證明此題：若數列為等差數列，則其前項和是關于的二次函數，且常數項為,即；若的前項和中，可根據其前項和求出通項公式，從而可以證明其為等差數列．
試題解析：證：若數列為等差數列，則其前項和，是關于的二次函數，且常數項為，而的前項和，所以；
反過來，當數列的前項和中，則，當時，，時， ，因為也符合，所以數列的通項公式為，，所以數列是以為首項，為公差的等差數列．
綜上所述，數列為等差數列的充要條件是．項和公式以及充分必要條件的關系．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知是曲線C：上的一點（其中），過點作與曲線C在處的切線垂直的直線交軸于點，過作與軸垂直的直線與曲線C在第一象限交于點；再過點作與曲線C在處的切線垂直的直線交軸于點，過作與軸垂直的直線與曲線C在第一象限交于點；如此繼續(xù)下去，得一系列的點、、、、。（其中）

（1）求數列的通項公式。
（2）若，且是數列的前項和，是數列的前項

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

三個數成等比數列,其積為512,如果第一個數與第三個數各減2,則成等差數列，求這三個數．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設數列的各項都是正數，且對任意，都有，其中 為數列的前項和。
(1)求證數列是等差數列；
(2）若數列的前項和為Tn,求Tn。

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在等差數列中，，其前項和為，等比數列的各項均為正數，，公比為，且，.
（1）求與；（2）設數列滿足，求的前項和.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知等差數列中，.
(Ⅰ)求數列的通項公式;
(Ⅱ)當取最大值時求的值.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設等差數列的前項和為，滿足：．遞增的等比數列前項和為，滿足：．
（Ⅰ）求數列，的通項公式；
（Ⅱ）設數列對，均有成立，求．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知等比數列{an}的前n項和Sn＝2n－a，n∈N*．設公差不為零的等差數列{bn}滿足：b1＝a1＋2，且b2＋5，b4＋5，b8＋5成等比數列．
（Ⅰ）求a的值及數列{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{logan}的前n項和為Tn．求使Tn＞bn的最小正整數n．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知等差數列滿足,,則前n項和取最大值時，n的值為(     )
A．20B．21C．22D．23

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