Question

如圖，多面體ABCDEF中，BA，BC，BE兩兩垂直，且AB∥EF，CD∥BE，AB=BE=2，BC=CD=EF=1．
（1）若點G在線段AB上，且BG=3GA，求證：CG∥平面ADF；
（2）求直線DE與平面ADF所成的角的正弦值；
（3）求銳二面角B-DF-A的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）分別取AB，AF的中點M，H，連結(jié)MF，GH，DH，由已知條件推導(dǎo)出四邊形CDHG是平行四邊形，從而得到CG∥DH，由此能證明CG∥平面ADF．
（2）以B為原點，分別以BC，BE，BA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．利用向量法能求出直線DE與平面ADF所成的角的正弦值．
（3）分別求出平面ADF的法向量和平面BDF的法向量，利用向量法能求出銳二面角B-DF-A的余弦值．

解答： 解：（1）分別取AB，AF的中點M，H，連結(jié)MF，GH，DH，
則有AG=GM，MF

∥ .

.

BE．
∵AH=HF，∴GH

∥ .

.

1

2

MF，…（1分）
又∵CD

∥ .

.

1

2

BE，BE

∥ .

.

MF
∴CD

∥ .

.

GH
∴四邊形CDHG是平行四邊形，∴CG∥DH，…（2分）
又∵CG?平面ADF，DH?平面ADF
∴CG∥平面ADF．…（4分）
（2）如圖，以B為原點，分別以BC，BE，BA所在直線為x軸，y軸，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
由題意得A（0，0，2），C（1，0，0），
D（1，1，0），E（0，2，0），F(xiàn)（0，2，1），
∴

DE

=(-1，1，0)，

DA

=(-1，-1，2)，

FA

=(0，-2，1)，…（6分）
設(shè)平面ADF的一個法向量

n

=(x，y，z)，
則有

n • DA =-x-y+2z=0 n • FA =-2y+z=0

，
化簡，得

x=3y z=2y

，令y=1，得

n

=(3，1，2)，…（8分）
設(shè)直線DE與平面ADF所成的角為θ，
則有sinθ=|

n • DE

| n |•| DE |

|=

7

7

．…（9分）
∴直線DE與平面ADF所成的角的正弦值為

7

7

．
（3）由（Ⅱ）知平面ADF的法向量

n

=（3，1.2），
設(shè)平面BDF的一個法向量

n2

=（x，y，z），
∵∵

BF

=(0，2，1)，

BD

=(1，1，0)，
∴

n2 • BF =0 n2 • BD =0

，∴

2y+z=0 x+y=0

∴z=-2y，x=-y，令y=-1，則

n2

=(1，-1，2)…（11分）
設(shè)銳二面角B-DF-A的平面角為θ
則cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

|=

6

14 • 6

=

21

7

…（12分）
∴銳二面角B-DF-A的余弦值為

21

7

．…（13分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，考查銳二面角的大小的求法，解題時要注意向量法的合理運(yùn)用．