Question

已知函數(shù)f(x)=lnax+bx+

a

x

（a、b為常數(shù)），在x=-1時取得極值．
（1）求實數(shù)b的取值范圍；
（2）當a=-1時，關于x的方程f（x）=2x+m有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）數(shù)列{a_n}滿足an=1-

1

an-1+1

（n∈N^*且n≥2），a1=

1

2

，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求證：2n•an≥eSn+an-1（n∈N^*，e是自然對數(shù)的底）．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,數(shù)列與不等式的綜合

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）注意到題目中f（x）在x=-1有定義，初步判斷a＜0；另外，根據(jù)f′（-1）=0且-1是其極值點，列出等式，用b表示a代入計算；
（2）結合著定義域，原題可轉化成方程ln(-x)-

1

x

=2x+m在（-∞，0）上有兩個不等實根．令-x=t，則問題又進一步轉化為方程lnt+

1

t

+2t=m在（0，+∞）上有兩個不等實根，再通過求導的方法對函數(shù)g(x)=lnx+

1

x

+2x進一步研究．
（3）首先由數(shù)列的遞推關系式求出數(shù)列{a_n}的通項公式，再利用（2）中的結論，即g(x)=lnx+

1

x

+2x≥3-ln2，其中，令x=

n

n+1

，代入不等式，進行化簡計算，累加，即可證明原不等式．

解答： 解：（1）f′(x)=

1

x

+b-

a

x2

=

bx2+x-a

x2

，
∵f（x）在x=-1有定義∴a＜0．
由題意知，x=-1是方程

bx2+x-a

x2

=0的根，且不是重根．
∴b=a+1且1+4ab≠0，
又∵a＜0，∴b＜1且b≠

1

2

；
（2）a=-1時  b=a+1=0即方程ln(-x)-

1

x

=2x+m在（-∞，0）上有兩個不等實根．
即方程lnx+

1

x

+2x=m在（0，+∞）上有兩個不等實根．
令g(x)=lnx+

1

x

+2x（x＞0）g′(x)=

1

x

-

1

x2

+2=

2x2+x-1

x2

（x＞0）
∴g（x）在(0，

1

2

]上單調(diào)遞減，在[

1

2

，+∞)上單調(diào)遞增，
∴當x=

1

2

時，g（x）_min=g(

1

2

)=3-ln2．
又當x→0時，g（x）→+∞；當x→+∞時，g（x）→+∞，
∴當m＞3-ln2時，方程f（x）=2x+m有兩個不相等的實數(shù)根．
（3）an=1-

1

an-1+1

，∴an=

an-1

an-1+1

，

1

an

=1+

1

an-1

，
∴{

1

an

}是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列．
∴

1

an

=n+1．
∴an=

1

n+1

．
由（2）知g(x)=lnx+

1

x

+2x≥3-ln2，
令x=

n

n+1

得：ln

n

n+1

+

n+1

n

+

2n

n+1

≥3-ln2，即ln

n

n+1

+ln2≥

2

n+1

-

1

n

，
∴ln

1

2

+ln2≥

2

2

-

1

1

，ln

2

3

+ln2≥

2

3

-

1

2

，
…，
ln

n

n+1

+ln2≥

2

n+1

-

1

n

，
累加得，ln

1

n+1

+nln2≥

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

+

1

n+1

-1=Sn+an-1，
即lnan+ln2n≥Sn+an-1
∴an•2n≥eSn+an-1．

點評：本題是學生容易做錯的類型特別是第一小問中的a＜0和1+4ab≠0，往往是他們最容易忽視的范圍，第二問依舊是在第一問的基礎上，將問題轉化成我們更為熟悉的內(nèi)容；最后一問更是綜合性比較強，應該說是數(shù)列和不等式的綜合應用，難度較大，特別是將（2）中的結論應用于該數(shù)列，對x的賦值，比較困難，包括后面的化簡，也是需要比較高的觀察分析能力和計算能力．