Question

9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是正方形，中心為O，且底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)相等，M是PC的中點(diǎn)，求MO與AB所成的角．

Answer 1

分析 可連接BD，AC，OP，由已知條件便知這三直線兩兩垂直，從而可分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可設(shè)棱長(zhǎng)為2，從而可求出圖形中一些點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出向量$\overrightarrow{MO}，\overrightarrow{AB}$的坐標(biāo)，根據(jù)向量夾角的余弦公式便可求出cos$＜\overrightarrow{MO}，\overrightarrow{AB}＞$，這樣便可得出MO與AB所成角．

解答 解：根據(jù)條件知，P點(diǎn)在底面ABCD的射影為O，連接AC，BD，PO，則OB，OC，OP三直線兩兩垂直，從而分別以這三直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：
設(shè)棱長(zhǎng)為2，則：
$O（0，0，0），C（0，\sqrt{2}，0），P（0，0，\sqrt{2}）$，$M（0，\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$，$A（0，-\sqrt{2}，0），B（\sqrt{2}，0，0）$；
∴$\overrightarrow{MO}=（0，-\frac{\sqrt{2}}{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}）$，$\overrightarrow{AB}=（\sqrt{2}，\sqrt{2}，0）$；
∴$cos＜\overrightarrow{MO}，\overrightarrow{AB}＞=\frac{\overrightarrow{MO}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{MO}||\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{-1}{1×2}=-\frac{1}{2}$；
∴MO與AB所成角為60°．

點(diǎn)評(píng) 考查建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求異面直線所成角的方法，能求空間點(diǎn)的坐標(biāo)，向量夾角的余弦的坐標(biāo)公式，弄清異面直線的方向向量的夾角和異面直線所成角的關(guān)系．