Question

設(shè)0＜x＜

π

2

，則函數(shù)f(x)=

1+cos2x+6sin2x

sin2x

的最小值為

2

3

．

Answer 1

分析：法一：先利用二倍角公式將函數(shù)f（x）化簡，有兩個方向，一是通過升次縮角，將函數(shù)中的角統(tǒng)一為單角x，通過對二次齊次式分子分母同除以cos²x的辦法，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的正切函數(shù)的值域問題，利用均值定理求最值，
法二：是通過降次擴(kuò)角，將函數(shù)中的角統(tǒng)一為倍角2x，利用數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的最值

解答：解：解法一：∵f(x)=

1+cos2x+6sin2x

sin2x

=

2cos2x+6 sin2x

sin2x

=

2cos2x+6sin2x

2sinx•cosx

∵0＜x＜

π

2

，∴cosx＞0，tanx＞0，
∴將f（x）的分子分母同除以cos²x
∴f（x）=

2+6tan2x

2tanx

=

1

tanx

+3tanx≥2

1 tanx ×3tanx

=2

3

（當(dāng)且僅當(dāng)tanx=

3

3

，即x=

π

6

時取等號）
∴函數(shù)f(x)=

1+cos2x+6sin2x

sin2x

的最小值為 2

3

故答案為2

3

解法二：∵f(x)=

1+cos2x+6sin2x

sin2x

=

1+cos2x+6×  1-cos2x 2

sin2x

=

-2(cos2x -2)

sin2x

∴設(shè)x=sin2x，y=cos2x，
∵0＜x＜

π

2

，∴0＜x≤1，-1＜y＜1，
且x²+y²=1
∴點(diǎn)P（x，y）在以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓的右半圓上，如圖
此時

y-2

x

表示點(diǎn)P與點(diǎn)（0，2）連線的斜率
數(shù)形結(jié)合可得：OP=r=1，OM=2，∠MAO=60°
∴

y-2

x

≤-

3

∴

-2(cos2x -2)

sin2x

=

-2(y-2)

x

≥2

3

∴函數(shù)f(x)=

1+cos2x+6sin2x

sin2x

的最小值為 2

3

故答案為2

3

點(diǎn)評：本題考察了三角函數(shù)求最值的方法，二倍角公式的應(yīng)用，均值定理求最值和數(shù)形結(jié)合求最值的運(yùn)用，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法