【題目】 已知函數(shù)（a為常數(shù)）.

（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)時，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為和．（2）

【解析】試題分析：（1）先確定函數(shù)定義域，再求導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而求定義區(qū)間上導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，最后列表分析導(dǎo)函數(shù)符號并確定單調(diào)區(qū)間：增區(qū)間為，，減區(qū)間為和．（2）不等式恒成立問題，一般轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題： ，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，確定當(dāng)時有最大值為，即得實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時， ，

，

由得， ，

由得， 或，

∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，

單調(diào)減區(qū)間為和．

（Ⅱ）當(dāng)時， 恒成立，

令，

問題轉(zhuǎn)換為時， ．

，

①當(dāng)時， ，

在上單調(diào)遞增，

此時無最大值，故不合題意．

②當(dāng)時，令解得， ，

此時在上單調(diào)遞增，

此時無最大值，故不合題意．

③當(dāng)時，令解得， ，

當(dāng)時， ，

而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

，

令， ，

則，

在上單調(diào)遞增，

又，

當(dāng)時， ，

在上小于或等于不恒成立，即不恒成立，

故不合題意．

當(dāng)時， ，

而此時在上單調(diào)遞減，

，符合題意．

綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是．

（也可用洛必達(dá)法則）

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【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（1）寫出直線的極坐標(biāo)方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知與直線平行的直線過點(diǎn)，且與曲線交于兩點(diǎn)，試求．

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質(zhì)量指標(biāo)值分組

[75，85)

[85，95)

[95，105)

[105，115)

[115，125)

頻數(shù)

6

26

38

22

8

(1)作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；

(2)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

(3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定？

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【題目】已知是公差不為零的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．

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（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．

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【題目】某中學(xué)擬在高一下學(xué)期開設(shè)游泳選修課，為了了解高一學(xué)生喜歡游泳是否與性別有關(guān)，該學(xué)校對100名高一新生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：

喜歡游泳

不喜歡游泳

合計

男生

10

女生

20

合計

已知在這100人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為．

（1）請將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整；

（2）并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān)？并說明你的理由；

（3）已知在被調(diào)查的學(xué)生中有5名來自甲班，其中3名喜歡游泳，現(xiàn)從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求恰好有1人喜歡游泳的概率．

下面的臨界值表僅供參考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（參考公式：，其中）

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則（1）為坐標(biāo)原點(diǎn)，三角形的面積為__________．

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（Ⅰ）得分的概率；

（Ⅱ）所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望.

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