Question

已知橢圓P的中心O在坐標原點，焦點在x軸上，且經過點A（0，2

3

），離心率為

1

2

（1）求橢圓P的方程；
（2）是否存在過點E（0，-4）的直線l交橢圓P于點R，T，且滿足

OR

•

OT

=

16

7

．若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設橢圓P的方程為

x2

a2

+

y2

b2

═1 （a＞b＞0），由橢圓經過點A（0，2

3

），離心率為

1

2

，求得a和b的值，
從而求得橢圓P的方程．
（2）由

y=kx-4 x2 16 + y2 12 = 1

 可得  x₁+x₂ 和x₁•x₂ 的值，可得y₁•y₂的值，根據

OR

•

OT

=

16

7

，求出k=±1，
從而得到直線l的方程．

解答：解：（1）設橢圓P的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0），由題意得b=2

3

，

c

a

=

1

2

，
∴a=2c，b²=a²-c²=3c²，∴c=2，a=4，∴橢圓P的方程為：

x2

16

 +

y2

12

= 1．
（2）假設存在滿足題意的直線L．易知當直線的斜率不存在時，

OR

•

OT

＜0，不滿足題意．
故設直線L的斜率為k，R（x₁，y₁），T（x₂，y₂ ）．∵

OR

•

OT

=

16

7

，∴x₁•x₂+y₁•y₂=

16

7

，
由

y=kx-4 x2 16 + y2 12 = 1

 可得 （3+4k² ）x²-32kx+16=0，由△=（-32k）²-4（3+4k²）•16＞0，
解得 k²＞

1

4

  ①．
∴x₁+x₂=

32k

3+ 4k2

，x₁•x₂=

16

3+ 4k2

，
∴y₁•y₂=（kx₁-4 ）（kx₂-4）=k² x₁•x₂-4k（x₁+x₂）+16，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=

16

3+ 4k2

+

16k2

3+ 4k2

-

128k2

3+ 4k2

+16=

16

7

，∴k²=1  ②，
由①、②解得 k=±1，∴直線l的方程為 y=±x-4，
故存在直線l：x+y+4=0，或 x-y-4=0，滿足題意．

點評：本題考查求橢圓的標準方程的方法，直線和圓錐曲線的位置關系，兩個向量的數量積公式，求出x₁•x₂和y₁•y₂ 的值，是解題的關鍵．