Question

已知直線過(guò)橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的左焦點(diǎn)F₁，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，B分別作橢圓的兩條切線，則其交點(diǎn)的軌跡方程

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：分別求出橢圓在點(diǎn)A、B處的切線方程，聯(lián)立方程組能求出交點(diǎn)的軌跡方程．

解答： 解：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)為k，直線l的方程為y=k（x+1），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則橢圓在點(diǎn)A處的切線方程為：

x1x

4

+

y1y

3

=1，①
橢圓在點(diǎn)B的切線方程為：

x2x

4

+

y2y

3

=1，②
聯(lián)立方程①②得：x=

4(y2-y1)

x1y2-x2y1

=

4k(x2-x1)

x1k(x2-1)-x2k(x1+1)

=-4，
即此時(shí)交點(diǎn)的軌跡方程：x=-4．
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=-1，
此時(shí)A（-1，1.5），B（-1，-1.5），經(jīng)過(guò)AB兩點(diǎn)的切線交點(diǎn)為（-4，0）．
綜上所述，切線的交點(diǎn)的軌跡方程為：x=-4．
故答案為：x=-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查切線方程的求法，考查橢圓方程的求法，考查交點(diǎn)的軌跡方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意計(jì)算能力、推理論證能力的培養(yǎng)．