Question

8．已知在極坐標系下，曲線C：ρ（cosα+2sinα）=4（α為參數(shù)）與點A（2，$\frac{π}{3}$）．
（1）求曲線C與點A的位置關(guān)系；
（2）已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與直角坐標的x軸正半軸重合，直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-2t}\\{y=-2+4t}\end{array}\right.$，求曲線C與直線L的交點坐標．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲線C的直角坐標方程和點A（2，$\frac{π}{3}$）的直角坐標，由此能判斷曲線C與點A的位置關(guān)系．
（2）曲線C的直角坐標方程為：x+2y-4=0，直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-2t}\\{y=-2+4t}\end{array}\right.$消去參數(shù)t，得2x+y=0，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4=0}\\{2x+y=0}\end{array}\right.$，能求出曲線C與直線L的交點坐標．

解答 解：（1）∵在極坐標系下，曲線C：ρ（cosα+2sinα）=4（α為參數(shù)），
∴曲線C的直角坐標方程為：x+2y-4=0，
∵在極坐標系下，點A（2，$\frac{π}{3}$），
∴x=$2cos\frac{π}{3}$=1，y=2sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴A的直角坐標為A（1，$\sqrt{3}$），
∵1+2$\sqrt{3}$-4≠0，∴點A不在曲線C上．
（2）∵曲線C的直角坐標方程為：x+2y-4=0，
直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-2t}\\{y=-2+4t}\end{array}\right.$消去參數(shù)t，得2x+y=0，
解方程$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4=0}\\{2x+y=0}\end{array}\right.$，得x=-$\frac{4}{3}$，y=$\frac{8}{3}$，
∴曲線C與直線L的交點坐標（-$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{3}$）．

點評 本題考查曲線與點的位置關(guān)系的判斷，考查曲線與直線的交點坐標的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要注意極坐標方程、參數(shù)方程和直角坐標方程轉(zhuǎn)化公式的合理運用．