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已知橢圓C：（a＞b＞0）的焦距為4，且與橢圓有相同的離心率，斜率為k的直線l經過點M（0，1），與橢圓C交于不同兩點A、B，
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）當橢圓C的右焦點F在以AB為直徑的圓內時，求k的取值范圍。
解：（1）∵焦距為4，
∴ c=2，       
又∵的離心率為，    
∴，
∴a=，b=2，      
∴標準方程為。    
（2）設直線l方程：y=kx+1，
A（x1，y1），B（x2，y2），
由得，      
∴x1+x2=，x1x2=，
由（1）知右焦點F坐標為（2，0），
∵右焦點F在圓內部，
∴＜0，   
∴（x1-2）（x2-2）+y1y2＜0，
即x1x2-2（x1+x2）+4+k2x1x2+k（x1+x2）+1＜0，                 ∴，  
∴k＜，
經檢驗得k＜時，直線l與橢圓相交，
∴直線l的斜率k的范圍為（-∞，）。  
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：2010-2011學年福建省龍巖市高三（上）期末質量檢查一級達標數學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C： （a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1（-1，0）、F2（1，0），離心率為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知一直線l過橢圓C的右焦點F2，交橢圓于點A、B．
（ⅰ）若滿足（O為坐標原點），求△AOB的面積；
（ⅱ）當直線l與兩坐標軸都不垂直時，在x軸上是否總存在一點P，使得直線PA、PB的傾斜角互為補角？若存在，求出P坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：2013年全國普通高等學校招生統一考試理科數學（四川卷解析版） 題型：解答題

（13分）已知橢圓C：（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F1（﹣1，0），F2（1，0），且橢圓C經過點．

（I）求橢圓C的離心率：

（II）設過點A（0，2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點，點Q是線段MN上的點，且，求點Q的軌跡方程．

 

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科目：高中數學 來源：2014屆甘肅武威六中高二12月學段檢測文科數學試題（解析版） 題型：解答題

（12分）已知橢圓C：（a＞b＞0）的一個頂點為A（2,0），離心率為，直線y=k（x-1）與橢圓C交于不同的兩點M、N.

 ①求橢圓C的方程.

 ②當⊿AMN的面積為時，求k的值.

 

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年江西省高三第七次月考理科數學 題型：解答題

已知橢圓C：+=1(a＞b＞0)，直線y=x+與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切，F1，F2為其左、右焦點，P為橢圓C上任一點，△F1PF2的重心為G，內心為I，且IG∥F1F2。⑴求橢圓C的方程。⑵若直線L：y=kx+m(k≠0)與橢圓C交于不同兩點A，B且線段AB的垂直平分線過定點C(，0)求實數k的取值范圍。

 

 

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年浙江省高三上學期第三次月考數學文卷 題型：選擇題

已知橢圓C：（a>b>0）的離心率為，過右焦點F且斜率為k（k>0）的直線與橢圓C相交于A、B兩點，若。則 （    ） 

（A）1     （B）2      （C）      （D）

 

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