Question

已知函數f(x)=alnx+

1

x

(a＞0)．
（I）求函數f（x）的單調區(qū)間和極值；
（II）若?x＞0，均有ax（2-lnx）≤1，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（I）依題意，x＞0，f′（x）=

a

x

-

1

x2

由f′（x）＞0得

a

x

-

1

x2

＞0，解得x＞

1

a

，函數f（x）的單調增區(qū)間為（

1

a

，+∞）
由f′（x）＜0得

a

x

-

1

x2

＜0，解得x＜

1

a

，函數f（x）的單調減區(qū)間為（0，

1

a

）
∴當x=

1

a

時，函數f（x）的極小值為f（

1

a

）=aln

1

a

+a=a-alna
（II）設g（x）=ax（2-lnx）=2ax-axlnx，則函數定義域為（0，+∞）
g′（x）=2a-（ax•

1

x

+alnx）=a（1-lnx）
由g′（x）=0，解得x=e，
由a＞0可知，當x∈（0，e）時，g′（x）＞0，函數g（x）單調遞增，
當x∈（e，+∞）時，g′（x）＜0，函數g（x）單調遞減，
∴函數g（x）的最大值為g（e）=ae（2-lne）=ae
要使不等式恒成立，只需g（x）的最大值不大于1即可，即g（e）≤1
也即ae≤1，解得 a≤

1

e

又∵a＞0
∴0＜a≤

1

e