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20.已知函數(shù)f(x)=2x+a2x+1+b(a>0,b>0)為奇函數(shù).
(1)求a與b的值;
(2)判斷并用定義證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性,再求不等式f(x)>-16的解集.

分析 (1)根據(jù)題意,由于函數(shù)f(x)是奇函數(shù),結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)可得-2x+a2x+1+b=2x+a2x+1+b,對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x都成立,對(duì)其變形可得(2a-b)-22x+(2ab-4)•2x+(2a-b)=0對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)都成立,進(jìn)而分析可得{2ab=02ab4=0,解并檢驗(yàn)可得a、b的值,
(2)由(1)可得a、b的值,即可得函數(shù)f(x)的解析式,利用定義法證明可得f(x)為R上的減函數(shù);進(jìn)而分析可得f(1)=-16,結(jié)合題意,可以將f(x)>-16轉(zhuǎn)化為f(x)>f(1),由函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案.

解答 解:(1)根據(jù)題意,由函數(shù)f(x)是奇函數(shù),得f(-x)=-f(x),
即-2x+a2x+1+b=2x+a2x+1+b,對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x都成立,
整理得(2a-b)-22x+(2ab-4)•2x+(2a-b)=0對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)都成立,
即有{2ab=02ab4=0,
解可得{a=1b=2{a=1b=2
經(jīng)檢驗(yàn){a=1b=2符合題意.
(2)由(1)可知,f(x)=2x+12x+1+1=12(-1+22x+1),
易判斷f(x)為R上的減函數(shù).
證明如下:設(shè)任意的實(shí)數(shù)x1、x2且滿足x1<x2,
f(x1)-f(x2)=1222x1+1-22x2+1)=2x22x12x1+12x2+1,
又由y=2x在R上遞增且函數(shù)值大于0,
則有f(x1)-f(x2)>0,
則函數(shù)f(x)在R是的減函數(shù);
對(duì)于f(x)=2x+12x+1+1=12(-1+22x+1),有f(1)=-16,
f(x)>-16,即f(x)>f(1),
又由函數(shù)為減函數(shù),
則必有x<1,
即不等式f(x)>-16的解集為{x|x<1}.

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)單調(diào)性的判定與應(yīng)用,涉及函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,(2)的關(guān)鍵是求出f(1)=-16

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A.B.C.D.

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