若a＞0，b＞0，且a+b=1，則(a+
1
a
)•(b+
1
b
)的最小值是（　�。�
分析：把所求式子運算，然后利用a+b=1兩邊平方后代換部分式子，最后整理成ab+
2
ab
-2，再換元t=ab，T=t+
2
t
-2，利用導數(shù)證明函數(shù)在t∈(0，
1
4
]為減函數(shù)，從而求得最小值，即為所求．
解答：解：由題意知：T=(a+
1
a
)•(b+
1
b
)=ab+
b
a
+
a
b
+
1
ab
=
a2b2+b2 +a2+1
ab
，
若a＞0，b＞0，且a+b=1，又a2+b2=（a+b）2-2ab=1-2ab，
所以
a2b2+b2 +a2+1
ab
=
a2b2 -2ab+2
ab
=ab+
2
ab
-2，
令t=ab，因為a＞0，b＞0，1=a+b≥2
ab
，所以
ab
≤
1
2
，即0＜t≤
1
4
，
T=t+
2
t
-2，則當0＜t≤
1
4
，T′=1-
2
t2
＜0，所以T=t+
2
t
-2在t∈(0，
1
4
]是減函數(shù)，
所以T=t+
2
t
-2的最小值為T=
1
4
+
2
1
4
-2=
25
4
，
所以當a＞0，b＞0，且a+b=1，則(a+
1
a
)•(b+
1
b
)的最小值是
25
4
，
故選B．
點評：本題考查求分式的最值問題，通過換元把多變量轉(zhuǎn)化為單變量的函數(shù)求最值問題，用到了用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，本題的易錯點是沒有意識到基本不等式成立的條件“三相等”不具備，而錯誤利用基本不等式求最值，求最值是本題的易錯點．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若a＞0，b＞0，且函數(shù)f（x）=4x3-ax2-2bx+2在x=1處有極值，則ab的最大值等于（　　）
A、2B、3C、6D、9

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若a＞0，b＞0，且函數(shù)f（x）=
8
3
x3-ax2-2bx+1在x=1處有極值，則ab的最大值等于（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若a＞0，b＞0，且a+b=1．求證：
（Ⅰ）ab≤
1
4
；     
（Ⅱ）
4
3
≤
1
a+1
+
1
b+1
＜
3
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若a＞0，b＞0，且4a+b=1，則
1
a
+
4
b
的最小值是
16
16
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•徐州三模）若a＞0，b＞0，且
1
2a+b
+
1
b+1
=1，則a+2b的最小值為
2
3
+1
2
2
3
+1
2
．

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