Question

若數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_n＋1＝a_n＋a_n＋2(n∈N^*)，則稱(chēng)數(shù)列{a_n}為“凸數(shù)列”．

(1) 設(shè)數(shù)列{a_n}為“凸數(shù)列”，若a₁＝1，a₂＝－2，試寫(xiě)出該數(shù)列的前6項(xiàng)，并求出前6項(xiàng)之和；

(2) 在“凸數(shù)列”{a_n}中，求證：a_n＋3＝－a_n，n∈N^*；

(3) 設(shè)a₁＝a，a₂＝b，若數(shù)列{a_n}為“凸數(shù)列”，求數(shù)列前2011項(xiàng)和S_{2 011}.

Answer 1

 (1) 解：a₁＝1，a₂＝－2，a₃＝－3，a₄＝－1，a₅＝2，a₆＝3，故S₆＝0.

(2) 證明：由條件得所以a_n＋3＝－a_n.

(3) 解：由(2) 的結(jié)論得a_n＋6＝－a_n＋3＝a_n，即a_n＋6＝a_n.

a₁＝a，a₂＝b，a₃＝b－a，a₄＝－a，a₅＝－b，a₆＝a－b，

∴S₆＝0.

由(2)得S_6n＋k＝S_k，n∈N^*，k＝1，…，6，

故S_{2 011}＝S_335×6＋1＝a₁＝a.