Question

【題目】定義在上的函數(shù)，單調(diào)遞增，，若對(duì)任意，存在，使得成立，則稱是在上的“追逐函數(shù)”.若，則下列四個(gè)命題：①是在上的“追逐函數(shù)”；②若是在上的“追逐函數(shù)”，則；③是在上的“追逐函數(shù)”；④當(dāng)時(shí)，存在，使得是在上的“追逐函數(shù)”.其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據(jù)4個(gè)命題，依次求出M，解方程求得x1，x2，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和特殊值法，判斷是否存在x1＜x2，即可得到結(jié)論．

對(duì)于①，易得M＝1，k＞1，有21＝k，

即為，＝log2（k+1），

當(dāng)k＝100時(shí)，log2（k+1），

即不存在＜．

對(duì)于②，，得m=M＝1，只需檢驗(yàn)m=1時(shí)，是否符合題意，

k＞1，有2＝1+ln＝k，

即為，＝ek﹣1，

即有ek﹣1k＜e2k﹣2，

由x＞1時(shí)，x﹣e2x﹣2的導(dǎo)數(shù)為1﹣2e2x﹣2＜0，

即有x＜e2x﹣2，則存在＜；∴m=1滿足題意

對(duì)于③，易得M＝1，k＞1，有2＝2k，

即為，，

當(dāng)k＝4，不存在＜x2．

對(duì)于④，由題意

又時(shí)，存在，取t=m+,此時(shí)，且k>,

有2＝k，

即為，，令g（k）==，k>, ∴，

∴g（k）在（）單調(diào)遞減，∴g（k）<g（）=,又t=m+, ∴g（）=0，

即g（k）<0，∴<，

故f（x）在[1，+∞）上的“追逐函數(shù)”有②④

故選：B．