Question

蒼南縣龍港鎮(zhèn)一高檔手套公司準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費，對生產(chǎn)的手  套進行促銷．在1年內(nèi)，據(jù)測算年銷售量S（萬雙）與廣告費x（萬元）之間的函數(shù)關(guān)系式為S=3-

1

x

（x＞0），已知手套的固定投入為3萬元，每生產(chǎn)1萬雙手套仍需再投入16萬元．
已知：年銷售收入=年生產(chǎn)成本的150%+年廣告費的50%，年利潤=年銷售收入-年生產(chǎn)成本-年廣告費．
（Ⅰ）試將手套的年利潤L（萬元）表示為年廣告費x（萬元）的函數(shù)；
（Ⅱ）當(dāng)年廣告費投入為多少萬元時，此公司的年利潤最大，最大利潤為多少？

Answer 1

分析：（1）手套的年成本為（16S+3）萬元，年銷售收入為（16S+3）×150%+x×50%，年利潤L=（16S+3）×150%+x×50%-（16S+3）-x，整理即得；
（2）由利潤函數(shù)L的解析式，利用基本不等式a+b≥2

ab

（a＞0，b＞0），可得L的最大值．

解答：解：（1）由題意知，手套的年成本為（16S+3）萬元，…（1分）
年銷售收入為（16S+3）×150%+x×50%，…（3分）
年利潤L=（16S+3）×150%+x×50%-（16S+3）-x，…（5分）
即L=

1

2

（16S+3-x），又S=3-

1

x

得L=

-x2+51x-16

2x

（x＞0）．…（7分）
（2）由L=

-x2+51x-16

2x

=

51

2

-（

x

2

+

8

x

）≤

51

2

-2

x 2 • 8 x

=21.5，
當(dāng)且僅當(dāng)

x

2

=

8

x

，即x=4時，L有最大值為21.5．
因此，當(dāng)年廣告費投入為4萬元時，此公司的年利潤最大，最大利潤為21.5萬元．…（14分）

點評：本題以函數(shù)為載體，考查利潤函數(shù)模型的應(yīng)用，在建立函數(shù)解析式的基礎(chǔ)上，利用基本不等式，求得函數(shù)的最值．