Question

蒼南縣龍港鎮(zhèn)一高檔手套公司準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)，對(duì)生產(chǎn)的手  套進(jìn)行促銷．在1年內(nèi)，據(jù)測(cè)算年銷售量S（萬(wàn)雙）與廣告費(fèi)x（萬(wàn)元）之間的函數(shù)關(guān)系式為S=（x＞0），已知手套的固定投入為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)雙手套仍需再投入16萬(wàn)元．
已知：年銷售收入=年生產(chǎn)成本的150%+年廣告費(fèi)的50%，年利潤(rùn)=年銷售收入-年生產(chǎn)成本-年廣告費(fèi)．
（Ⅰ）試將手套的年利潤(rùn)L（萬(wàn)元）表示為年廣告費(fèi)x（萬(wàn)元）的函數(shù)；
（Ⅱ）當(dāng)年廣告費(fèi)投入為多少萬(wàn)元時(shí)，此公司的年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）手套的年成本為（16S+3）萬(wàn)元，年銷售收入為（16S+3）×150%+x×50%，年利潤(rùn)L=（16S+3）×150%+x×50%-（16S+3）-x，整理即得；
（2）由利潤(rùn)函數(shù)L的解析式，利用基本不等式a+b≥2 （a＞0，b＞0），可得L的最大值．
解答：解：（1）由題意知，手套的年成本為（16S+3）萬(wàn)元，…（1分）
年銷售收入為（16S+3）×150%+x×50%，…（3分）
年利潤(rùn)L=（16S+3）×150%+x×50%-（16S+3）-x，…（5分）
即L=（16S+3-x），又S=3-
得L=（x＞0）．…（7分）
（2）由L==-（）≤=21.5，
當(dāng)且僅當(dāng)，即x=4時(shí)，L有最大值為21.5．
因此，當(dāng)年廣告費(fèi)投入為4萬(wàn)元時(shí)，此公司的年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為21.5萬(wàn)元．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查利潤(rùn)函數(shù)模型的應(yīng)用，在建立函數(shù)解析式的基礎(chǔ)上，利用基本不等式，求得函數(shù)的最值．