Question

6．已知圓x²+（y-2）²=4，點A在直線x-y-2=0上，過A引圓的兩條切線，切點為T₁，T₂，
（Ⅰ）若A點為（1，-1），求直線T₁T₂的方程；
（Ⅱ）求|AT₁|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出兩切點坐標，根據(jù)圓的切線方程公式分別寫出兩條切線方程，然后把A點坐標代入后得到過兩切點的直線方程即可；
（Ⅱ）求|AT₁|的最小值，求出圓心到直線的距離即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)切點為T₁（x₁，y₁），T₂（x₂，y₂），
則AT₁的方程為x₁x+（y₁-2）（y-2）=4，AT₂的方程為x₂x+（y₂-2）（y-2）=4，
把A（1，-1）分別代入求得x₁-3（y₁-2）=4，x₂-3（y₂-2）=4
∴x-3（y-2）=4，化簡得x-3y+2=0．
（Ⅱ）求|AT₁|的最小值，求出圓心到直線的距離即可．
∵圓心到直線的距離d=$\frac{|0-2-2|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴|AT₁|的最小值=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-4}$=2．

點評 此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查圓的切線方程公式，涉及的知識有兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，圓的標準方程，當直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，常常利用此性質(zhì)列出方程來解決問題．