Question

7．設(shè)0＜x＜π，則函數(shù)y=$\frac{2-cosx}{sinx}$的最小值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由題意可得$\frac{1}{y}$=-$\frac{sinx-0}{cosx-2}$，$\frac{sinx-0}{cosx-2}$表示點(diǎn)A（2，0）和B（cosx，sinx）連線的斜率，數(shù)形結(jié)合可得$\frac{sinx-0}{cosx-2}$的最小值，由不等式的性質(zhì)可得．

解答 解：∵0＜x＜π，∴cosx∈（-1，1），
∴由y=$\frac{2-cosx}{sinx}$可得$\frac{1}{y}$=-$\frac{sinx-0}{cosx-2}$，
而$\frac{sinx-0}{cosx-2}$表示點(diǎn)A（2，0）和B（cosx，sinx）連線的斜率，
由0＜x＜π可得點(diǎn)B（cosx，sinx）在單位圓的上半個(gè)圓（不含端點(diǎn)），
數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)直線與上半圓相切時(shí)，$\frac{sinx-0}{cosx-2}$取最小值，
由OB=1，OA=2在RT△OAB中可得∠OAB=30°，
此時(shí)$\frac{sinx-0}{cosx-2}$=tan150°=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{sinx-0}{cosx-2}$≥-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴-$\frac{sinx-0}{cosx-2}$≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴$\frac{1}{y}$≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴y≥$\sqrt{3}$
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)化為直線的斜率并數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．