Question

12．已知函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（x-1），且f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，若在區(qū)間[-1.3]上函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k有4個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x+1）=f（x-1），可得f（x）是周期為2的周期函數(shù)． 再由f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，可得函數(shù)在[-1，3]上的解析式．根據(jù)題意可得函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx+k 有4個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（x-1），
故有f（x+2）=f（x），
故f（x）是周期為2的周期函數(shù)．
再由f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，
由于函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k有4個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx+k 有4個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：

把點(diǎn)（3，1）代入y=kx+k，可得k=$\frac{1}{4}$，
數(shù)形結(jié)合可得實(shí)數(shù)k的取值范圍是 （0，$\frac{1}{4}$]，

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的周期性的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．