Question

已知函數(shù)f（x）=|x-2|-|x-5|，
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）解不等式f（x）≥x²-8x+15．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法,函數(shù)的值域,其他不等式的解法

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）通過(guò)對(duì)自變量x范圍的討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，利用函數(shù)的性質(zhì)即可求得函數(shù)f（x）的值域；
（2）通過(guò)對(duì)自變量x范圍的討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，再解相應(yīng)的二次不等式即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=|x-2|-|x-5|，
∴當(dāng)x≤2時(shí)，f（x）=2-x-（5-x）=-3；
當(dāng)2＜x＜5時(shí)，f（x）=x-2-（5-x）=2x-7∈（-3，3）；
當(dāng)x≥5時(shí)，f（x）=x-2-（x-5）=3；
綜上所述，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-3，3]；
（2）∵|x-2|-|x-5|≥x²-8x+15，
∴當(dāng)x≤2時(shí)，x²-8x+15≤-3，
解得x∈∅；
當(dāng)2＜x＜5時(shí)，有x²-8x+15≤2x-7，
解得5-

3

≤x＜5；
當(dāng)x≥5時(shí)，有x²-8x+15≤3，
即得5≤x≤6，
綜上所述，原不等式的解集為{x|5-

3

≤x≤6}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，突出考查轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合應(yīng)用，考查解一元二次不等式的運(yùn)算能力，屬于中檔題．