Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+Φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜Φ＜

π

2

）的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個交點(diǎn)之間的距離為

π

2

，且圖象上一個最低點(diǎn)為M（

2π

3

，-2）．
（1）求f（x）的解析式及單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

12

]時，求f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）依題意知，A=2，

T

2

=

π

2

，可求得ω=2；再由

2π

3

×2+Φ=2kπ-

π

2

（k∈Z），0＜Φ＜

π

2

，可求得Φ，從而得f（x）的解析式及單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

12

]時，2x+

π

6

∈[

π

6

，

π

3

]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得其值域．

解答： 解：（1）依題意知，A=2，

T

2

=

π

2

，又ω＞0，
∴T=

2π

ω

=π，ω=2；
∴f（x）=2sin（2x+Φ），
∵圖象上一個最低點(diǎn)為M（

2π

3

，-2），
∴

2π

3

×2+Φ=2kπ-

π

2

（k∈Z），
∴Φ=2kπ-

11π

6

（k∈Z），0＜Φ＜

π

2

，
∴Φ=

π

6

，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）；
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z），
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）；
（2）∵x∈[0，

π

12

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

π

3

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[

1

2

，

3

2

]，
∴x∈[0，

π

12

]時，f（x）=2sin（2x+

π

6

）的值域?yàn)閇1，

3

]．

點(diǎn)評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查綜合運(yùn)算與求解能力，屬于中檔題．