Question

已知函數(shù)f（x）滿(mǎn)足定義域在（0，+∞）上的函數(shù)，對(duì)于任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），當(dāng)且僅當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0成立，
（1）設(shè)x，y∈（0，+∞），求證f(

y

x

)=f(y)-f(x)；
（2）設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），若f（x₁）＜f（x₂），試比較x₁與x₂的大小；
（3）解關(guān)于x的不等式f（x²-2x+1）＞0．

Answer 1

分析：（1）取y=

y

x

•x，代入已知等式即可證得結(jié)果；
（2）由f（x₁）＜f（x₂），結(jié)合（1）中等式f(

y

x

)=f(y)-f(x)，得到f(

x1

x2

)＜0，再根據(jù)當(dāng)且僅當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0成立得到

x1

x2

＞1，從而得到x₁＞x₂；
（3）在已知等式中取特值x=y=1求出f（1）=0，由（2）可知函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上是減函數(shù)，在不等式f（x²-2x+1）＞0中，用f（1）替換0后利用函數(shù)的單調(diào)性脫掉“f”，則不等式的解集可求．

解答：（1）證明：∵f（xy）=f（x）+f（y），∴f(

y

x

)+f(x)=f(y)，
∴f(

y

x

)=f(y)-f(x)；
（2）解：∵f（x₁）＜f（x₂），∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
又f(

x1

x2

)=f(x1)-f(x2)，所以f(

x1

x2

)＜0
∵當(dāng)且僅當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0成立，∴當(dāng)f（x）＜0時(shí)，x＞1，
∴

x1

x2

＞1，x₁＞x₂
（3）解：令x=y=1代入f（xy）=f（x）+f（y）得f（1）=f（1）+f（1），f（1）=0，
∴f（x²-2x+1）＞0?f（x²-2x+1）＞f（1），
由（2）可知函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴0＜x²-2x+1＜1，
解得0＜x＜2且x≠1，
∴不等式解集為（0，1）∪（1，2）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，訓(xùn)練了特值法求函數(shù)的值，考查了學(xué)生靈活處理問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬中檔題．