Question

如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥面ABCD，E，F(xiàn)是PA和AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PBC；
（Ⅱ）若PC=2，求PA與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

（I）證明：∵E，F(xiàn)是PA和AB的中點(diǎn)，
∴AE=PE，AF=BF，
∴EF∥PB
又EF?平面PBC，PB?平面PBC，
故EF∥平面PBC；
（II）過A作AH⊥BC于H，連接PH
∵PC⊥面ABCD，AH?面ABCD，
∴PC⊥AH
∵PC∩BC=C
∴AH⊥平面PBC
∴∠APH為PA與平面PBC所成的角
∵邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴△ABC為正三角形
∵AH⊥BC
∴H為BC的中點(diǎn)，AH=

3

∵PC=AC=2，∴PA=2

2

∴sin∠APH=

AH

PA

=

6

4

∴PA與平面PBC所成角的正弦值為

6

4

．