Question

（2011•石景山區(qū)一模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（

6

2

，

1

2

），離心率是

2

2

，動(dòng)點(diǎn)M（2，t）（t＞0）
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求以O(shè)M為直徑且別直線3x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程；
（3）設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F做OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N，證明線段ON長(zhǎng)是定值，并求出定值．

Answer 1

分析：（1）由橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1離心率是

2

2

，設(shè)橢圓方程設(shè)為

x2

4k2

+

y2

2k2

=1，把點(diǎn)P（

6

2

，

1

2

）代入，得

6 4

4k2

+

1 4

2k2

=1，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）以O(shè)M為直徑的圓的圓心是（1，

t

2

），半徑r=

t2 4 +1

，方程為(x-1)2+(y-

t

2

)2=

t2

4

+1，由以O(shè)M為直徑圓直線3x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為2，知

|3-2t-5|

5

=

t

2

，由此能求出所求圓的方程．
（3）設(shè)N（x₀，y₀），點(diǎn)N在以O(shè)M為直徑的圓上，所以x₀²+y₀²=2x₀+ty₀，又N在過(guò)F垂直于OM的直線上，所以2x₀+ty₀=2，由此能求出ON．

解答：解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（

6

2

，

1

2

），
離心率是

2

2

，
∴橢圓方程設(shè)為

x2

4k2

+

y2

2k2

=1，
把點(diǎn)P（

6

2

，

1

2

）代入，
得

6 4

4k2

+

1 4

2k2

=1，
解得4k²=2，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

2

+y2=1．
（2）以O(shè)M為直徑的圓的圓心是（1，

t

2

），
半徑r=

t2 4 +1

，
方程為(x-1)2+(y-

t

2

)2=

t2

4

+1，
∵以O(shè)M為直徑圓直線3x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為2，
∴圓心（1，

t

2

）到直線3x-4y-5=0的距離d=

r2-1

=

t

2

，
∴

|3-2t-5|

5

=

t

2

，
解得t=4，
∴所求圓的方程是（x-1）²+（y-2）²=5．
（3）設(shè)N（x₀，y₀），
點(diǎn)N在以O(shè)M為直徑的圓上，
所以x₀（x₀-2）+y₀（y₀-t）=0，
即：x₀²+y₀²=2x₀+ty₀，
又N在過(guò)F垂直于OM的直線上，
所以y0=-

2

t

(x0-1)，
即2x₀+ty₀=2，
所以ON=

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．