Question

【題目】已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=m，其前n項(xiàng)和為Sn ， 且滿足Sn+Sn+1=3n2+2n，若對(duì)n∈N+ ， an＜an+1恒成立，則m的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（﹣2, ）
【解析】解：∵Sn+Sn+1=3n2+2n，

∴n=1時(shí)，2a1+a2=5，解得a2=5﹣2m．

n≥2時(shí)，Sn﹣1+Sn=3（n﹣1）2+2（n﹣1），

∴an+1+an=6n﹣1，∴an+an﹣1=6n﹣7，

∴an+1﹣an﹣1=6，

∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，

a2k=5﹣2m+6（k﹣1）=6k﹣1﹣2m，

a2k﹣1=m+6（k﹣1）=6k+m﹣6．

∵對(duì)n∈N*，an＜an+1恒成立，

∴n=2k﹣1時(shí)，6k+m﹣6＜6k﹣1﹣2m，解得m＜ ．

n=2k時(shí)，6k﹣1﹣2m＜6（k+1）+m﹣6，解得：m＞﹣2．

綜上可得m的取值范圍是：﹣2＜m＜ ．

故答案為：（﹣2， ）．

本題必需要得出數(shù)列an的通項(xiàng)公式再結(jié)合不等式對(duì)n∈N+，an＜an+1恒成立求出m的取值范圍，而數(shù)列an的通項(xiàng)公式的求解很顯然用到與之間的關(guān)系式以及數(shù)列的性質(zhì)，從而得出an+1﹣an﹣1=6.