Question

【題目】設(shè)命題p：x∈R，x2﹣2（m﹣3）x+1=0，命題q：x∈R，x2﹣2（m+5）x+3m+19≠0
（1）若p∨q為真命題，且p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍
（2）若p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：若命題p：x∈R，x2﹣2（m﹣3）x+1=0為真命題，

則△=4（m﹣3）2﹣4≥0，

解得：m∈（﹣∞，2]∪[4，+∞）；

若命題q：x∈R，x2﹣2（m+5）x+3m+19≠0

則△=4（m+5）2﹣4（3m+19）＜0，

解得：m∈（﹣6，﹣1），

若p∨q為真命題，且p∧q為假命題，

則命題p，q一真一假，

當(dāng)p真q假時(shí)，m∈（﹣∞，2]∪[4，+∞），且m∈（﹣∞，﹣6]∪[﹣1，+∞）

即m∈（﹣∞，﹣6]∪[﹣1，2]∪[4，+∞），

當(dāng)p假q真時(shí)，m∈（2，4），且m∈（﹣6，﹣1），此時(shí)不存在滿足條件的m值；

綜上可得：m∈（﹣∞，﹣6]∪[﹣1，2]∪[4，+∞）

（2）解：若p∧q為假命題，則命題p，q至少有一個(gè)假命題，

若命題p，q全為假，則m∈（2，4），且m∈（﹣∞，﹣6]∪[﹣1，+∞）

即m∈（2，4），

結(jié)合（1）的結(jié)論可得：

此時(shí)m∈（﹣∞，﹣6]∪[﹣1，+∞）

【解析】分別求出命題p，q為真時(shí)實(shí)數(shù)m的取值范圍．（1）若p∨q為真命題，且p∧q為假命題，則命題p，q一真一假，進(jìn)而可得滿足條件的a的取值范圍．（2）若p∧q為假命題，則命題p，q至少有一個(gè)假命題，進(jìn)而可得滿足條件的a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】掌握命題的真假判斷與應(yīng)用是解答本題的根本，需要知道兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．