函數(shù)y=asinx+2bcosx圖象的一條對(duì)稱軸方程是x=
π
4
，則直線ax+by+1=0和直線x+y+2=0的夾角的正切值為（　�。�
分析：函數(shù)f（x）=asinx+2bcosx圖象的一條對(duì)稱軸方程是x=
π
4
，推出f（
π
4
+x）=f（
π
4
-x） 對(duì)任意x∈R恒成立，化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，求出a，b的關(guān)系，然后求出直線的斜率，再由兩條直線的夾角公式求出直線ax+by+1=0與直線x+y+2=0的夾角．
解答：解：∵f （x）=asinx+2bcosx的一條對(duì)稱軸方程是x=
π
4
，
∴f（
π
4
+x）=f（
π
4
-x） 對(duì)任意x∈R恒成立，
asin（
π
4
+x）+2bcos（
π
4
+x）=asin（
π
4
-x）+2bcos（
π
4
-x），
asin（
π
4
+x）-asin（
π
4
-x）=-2bcos（
π
4
+x）+2bcos（
π
4
-x），
化簡(jiǎn)得：asinx=2bsinx 對(duì)任意x∈R恒成立，
∴（a-2b）sinx=0 對(duì)任意x∈R恒成立，∴a-2b=0，
∴直線ax+by+1=0的斜率k=-
a
b
=-2．
又直線x+y+2=0的斜率為-1，設(shè)直線ax+by+1=0與直線x+y+2=0的夾角大小是θ，
則有 tanθ=|
k2-k1
1+k1k2
|=|
-2+1
1+(-2)(-1)
|=
1
3
，
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，對(duì)稱軸的應(yīng)用，兩條直線的夾角公式，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線x=
π
6
是函數(shù)y=asinx-bcosx圖象的一條對(duì)稱軸，則函數(shù)y=bsinx-acosx圖象的一條對(duì)稱軸方程是（　�。�
A、x=
π
6
B、x=
π
3
C、x=
π
2
D、x=
π
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知當(dāng)x=
π
6
時(shí)，函數(shù)y=sinx+acosx取最大值，則函數(shù)y=asinx-cosx圖象的一條對(duì)稱軸為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)y=asinx+
1
3
sin3x在x=
π
3
處有極值，則a=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知過橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，N為弦AB的中點(diǎn)；又函數(shù)y=asinx+3bcosx圖象的一條對(duì)稱軸的方程是x=
π
6
．（1）求橢圓C的離心率e與直線AB的方程；（2）對(duì)于任意一點(diǎn)M∈C，試證：總存在角θ（θ∈R）使等式
OM
=cosθ
OA
+sinθ
OB
成立．

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