Question

（12分）如圖，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，AB=AC=2AA₁=2，∠BAC=120°，D，D₁分別是線(xiàn)段BC，B₁C₁的中點(diǎn)，P是線(xiàn)段AD上異于端點(diǎn)的點(diǎn)．

（Ⅰ）在平面ABC內(nèi)，試作出過(guò)點(diǎn)P與平面A₁BC平行的直線(xiàn)l，說(shuō)明理由，并證明直線(xiàn)l⊥平面ADD₁A₁；

（Ⅱ）設(shè)（Ⅰ）中的直線(xiàn)l交AC于點(diǎn)Q，求三棱錐A₁﹣QC₁D的體積．（錐體體積公式：，其中S為底面面積，h為高）

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）在平面ABC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)l和BC平行，由于直線(xiàn)l不在平面A₁BC內(nèi)，而B(niǎo)C在平面A₁BC內(nèi)，

故直線(xiàn)l與平面A₁BC平行．

三角形ABC中，∵AB=AC=2AA₁=2，∠BAC=120°，D，D₁分別是線(xiàn)段BC，B₁C₁的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴l(xiāng)⊥AD．

再由AA₁⊥底面ABC，可得 AA₁⊥l．

而AA₁∩AD=A，

∴直線(xiàn)l⊥平面ADD₁A₁ ．

（Ⅱ）設(shè)（Ⅰ）中的直線(xiàn)l交AC于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，

∵側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，故三棱柱ABC﹣A₁B₁C為直三棱柱，

故DE⊥平面AA₁C₁C．

直角三角形ACD中，∵AC=2，∠CAD=60°，∴AD=AC•cos60°=1，∴DE=AD•sin60°=．

∵===1，

∴三棱錐A₁﹣QC₁D的體積 ==••DE=×1×=．