Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=ax-（a+1）lnx，其中a≥-1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，通過討論一次函數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)得出單調(diào)區(qū)間．

解答 解：由已知得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∵f′（x）=$\frac{ax-a-1}{x}$（a≥-1），
（1）當(dāng)-1≤a≤0時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=0，解得x=1$+\frac{1}{a}$．
當(dāng)x∈（0，1$+\frac{1}{a}$ ）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，1$+\frac{1}{a}$ ）上單調(diào)遞減．
當(dāng)x∈（1$+\frac{1}{a}$，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（1$+\frac{1}{a}$，+∞）上單調(diào)遞增．
綜上所述：
當(dāng)-1≤a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1$+\frac{1}{a}$ ）上單調(diào)遞減，函數(shù)f（x）在（1$+\frac{1}{a}$，+∞）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 考查了導(dǎo)函數(shù)應(yīng)用和對一次函數(shù)分類討論問題．