Question

15．在平向直角坐標(biāo)系中，直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)，0≤α＜π），在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C：ρ=4cosθ
（I）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)P（2，1），若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PB}$，求tanα

Answer 1

分析 （I）曲線C：ρ=4cosθ，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ代入即可化為直角坐標(biāo)方程．
（II）把直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)，0≤α＜π）代入曲線C的直角坐標(biāo)方程可得：t²+2tsinα-3=0，由$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PB}$，可得t₁=-2t₂．再利用根與系數(shù)的關(guān)系及其三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出．

解答 解：（I）曲線C：ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，
可得：x²+y²=4x．
（II）把直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)，0≤α＜π）代入曲線C的直角坐標(biāo)方程可得：t²+2tsinα-3=0，
∴t₁+t₂=-2sinα，t₁t₂=-3．
∵$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PB}$，∴t₁=-2t₂．
聯(lián)立可得：sin²α=$\frac{3}{8}$．
∴$\frac{si{n}^{2}α}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{ta{n}^{2}α}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{3}{8}$，解得tan²α=$\frac{3}{5}$．
∵0≤α＜π，
∴tanα=$±\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化、三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．