Question

11．已知函數(shù)f（x）=a+（bx-1）e^x，（a，b∈R）
（1）如曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=x，求a，b的值；
（2）若a＜1，b=2，關(guān)于x的不等式f（x）＜ax的整數(shù)解有且只有一個(gè)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程為y=x，得$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=0}\\{f′（0）=1}\end{array}\right.$，求出a，b的值即可；
（2）構(gòu)造函數(shù)，通過對(duì)構(gòu)造的函數(shù)求導(dǎo)并分類討論，即可得出a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域是R，f′（x）=be^x+（bx-1）e^x=（bx+b-1）e^x，
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=0}\\{f′（0）=1}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a-1=0}\\{b-1=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$；
（2）當(dāng)b=2時(shí)，f（x）=a+（2x-1）e^x，（a＜1），
關(guān)于x的不等式f（x）＜ax的整數(shù)解有且只有一個(gè)，
等價(jià)于關(guān)于x的不等式a+（2x-1）e^x-ax＜0的整數(shù)解有且只有1個(gè)，
構(gòu)造函數(shù)F（x）=a+（2x-1）e^x-ax，x∈R，
故F′（x）=e^x（2x+1）-a，
1°x≥0時(shí)，∵e^x≥1，2x+1≥1，故e^x（2x+1）≥1，
又a＜1，故F′（x）＞0，故F（x）在（0，+∞）遞增，
∵F（0）=-1+a＜0，F(xiàn)（1）=e＞0，
∴在[0，+∞）存在唯一整數(shù)x₀，使得F（x₀）＜0，即f（x₀）＜ax₀；
2°當(dāng)x＜0時(shí)，為滿足題意，函數(shù)F（x）在（-∞，0）上不存在整數(shù)使得F（x）＜0，
即F（x）在（-∞，-1]上不存在整數(shù)使得F（x）＜0，
∵x≤-1，∴e^x（2x+1）＜0，
①當(dāng)0≤a＜1時(shí)，函數(shù)F′（x）＜0，∴F（x）在（-∞，-1]遞減，
∴$\frac{3}{2e}$≤a＜1；
②當(dāng)a＜0時(shí)，F(xiàn)（--1）=-$\frac{3}{e}$+2a＜0，不合題意，
綜上，a的范圍是[$\frac{3}{2e}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)的研究函數(shù)中的應(yīng)用以及不等式問題，意在考查轉(zhuǎn)化和化歸思想，數(shù)形結(jié)合思想以及學(xué)生的運(yùn)算能力．