Question

已知函數(shù)f（x）=ax-lnx+1（a∈R），g（x）=xe^1-x．
（1）求函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，e]上的值域；
（2）是否存在實數(shù)a，對任意給定的x∈（0，e]，在區(qū)間[1，e]上都存在兩個不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x）成立．若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（3）給出如下定義：對于函數(shù)y=F（x）圖象上任意不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果對于函數(shù)y=F（x）圖象上的點M（x，y）（其中總能使得F（x₁）-F（x₂）=F'（x）（x₁-x₂）成立，則稱函數(shù)具備性質“L”，試判斷函數(shù)f（x）是不是具備性質“L”，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求導函數(shù)g'（x）=e^1-x1xe^1-x=e^x-1（1-x），從而可知函數(shù)在區(qū)間（0，1]上單調遞增，在區(qū)間[1，e）上單調遞減，因此可求函數(shù)的值域．
（2）令m=g（x），則由（1）可得m∈（0，1]，原問題等價于：對任意的m∈（0，1]，f（x）=m在[1，e]上總有兩個不同的實根，故f（x）在[1，e]不可能是單調函數(shù)，從而可得，又可得，矛盾，因此滿足條件的a不存在
（3）設函數(shù)f（x）具備性質“L”，即在點M處地切線斜率等于k_AB，不妨設0＜x₁＜x₂，易得即，令，則有，令F（t）=，則由可得F（t）在（0，1）上單調遞增，故F（t）＜F（1）=0，從而方程無解，故可得證．
解答：解：（1）∵g'（x）=e^1-x1xe^1-x=e^x-1（1-x）在區(qū)間（0，1]上單調遞增，在區(qū)間[1，e）上單調遞減，且g（0）=0，g（1）=1＞g（e）=e^2-e函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，e]上的值域為（0，1]…．（3分）
（2）令m=g（x），則由（1）可得m∈（0，1]，原問題等價于：對任意的m∈（0，1]f（x）=m在[1，e]上總有兩個不同的實根，故f（x）在[1，e]不可能是單調函數(shù)                              …（5分）∵
當a≤0時，，在區(qū)間[1，e]上遞減，不合題意
當a≥1時，f'（x）＞0，在區(qū)間[1，e]上單調遞增，不合題意
當時，f'（x）＜0，在區(qū)間[1，e]上單調遞減，不合題意
當即時，在區(qū)間上單調遞減；在區(qū)間上單遞增，
由上可得，此時必有f（x）的最小值小于等于0且f（x）的最大值大于等于1，而由可得，則a∈Φ
綜上，滿足條件的a不存在．…..（8分）
（3）設函數(shù)f（x）具備性質“L”，即在點M處地切線斜率等于k_AB，不妨設0＜x₁＜x₂，則，而f（x）在點M處的切線斜率為，故有…..（10分）
即，令，則上式化為，
令F（t）=，則由可得F（t）在（0，1）上單調遞增，故F（t）＜F（1）=0，即方程無解，所以函數(shù)f（x）不具備性質“L”．…（14分）
點評：此題是個難題．考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，和求函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了分類討論和數(shù)形結合以及題意的理解與轉化的思想．特別是問題（2）的設置，考查了學生創(chuàng)造性分析解決問題的能力．